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  • 数学分析_Tom Apostol_定理7.47

    设$f$在$[a,b]$上定义且有界,对于每一个$\varepsilon>0$定义集合$J_{\varepsilon}$如下:
    $$J_{\varepsilon}=\{x:x\in [a,b],w_f(x)\geq \varepsilon\}$$
    则$J_{\varepsilon}$是闭集.




    证明:要证明$J_{\varepsilon}$是闭集,即证明$J_{\varepsilon}$的所有边界点都属于$J_{\varepsilon}$.

    1..若不存在边界点,则显然是闭集.


    2.若边界点是孤立点,则边界点显然属于$J_{\varepsilon}$.


    3.若边界点是聚点,即证明若$x\in [a,b]$,对于任意给定的正实数$\alpha$,总存在$x'\in (x-\alpha,x+\alpha)$,使得$w_f(x')<\varepsilon$,总存在$y'\in (x-\alpha,x+\alpha)$,使得$w_f(y')\geq \varepsilon$.则$w_f(x)\geq \varepsilon$.

    证明是很容易的,因为假设$w_f(x)<\varepsilon$,则容易得出“总存在$y'\in (x-\alpha,x+\alpha)$,使得$w_f(y')\geq \varepsilon$”这一条不成立.可见,$J_{\varepsilon}$的所有边界点都属于$J_{\varepsilon}$,可见$J_{\varepsilon}$是闭集.


    注1:下面这个命题仍成立:设$f$在$[a,b]$上定义且有界,对于每一个$\varepsilon>0$定义集合$J_{\varepsilon}$如下:
    $$J_{\varepsilon}=\{x:x\in [a,b],w_f(x)>\varepsilon\}$$
    则$J_{\varepsilon}$是闭集.

    证明和上面的完全类似.


    注2:下面这个命题也成立:

    设$f$在$[a,b]$上定义且有界,对于每一个$\varepsilon>0$定义集合$J_{\varepsilon}$如下:
    $$J_{\varepsilon}=\{x:x\in [a,b],w_f(x)\leq \varepsilon\}$$
    则$J_{\varepsilon}$是开集(事实上,$J_{\varepsilon}$的孤立点根本不存在).


    证明:即证明$J_{\varepsilon}$所有的边界点都不属于自己.这是很容易证明的.


    注3:下面这个命题也成立:

    设$f$在$[a,b]$上定义且有界,对于每一个$\varepsilon>0$定义集合$J_{\varepsilon}$如下:
    $$J_{\varepsilon}=\{x:x\in [a,b],w_f(x)<\varepsilon\}$$
    则$J_{\varepsilon}$是开集.(同样,$J_{\varepsilon}$的孤立点根本不存在)

    注4:

    以上所有命题中,似乎$f$在$[a,b]$上有界这个条件都不是必要的.

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