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  • 陶哲轩实分析习题17.3.2


    设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集合,$f:E\to\mathbf{R}^m$是函数,$x_0$是$E$的内点,$1\leq j\leq n$,证明$\frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)$存在的充分条件是$\mathbf{D}_{e_j}f(x_0)$和$\mathbf{D}_{-e_j}f(x_0)$存在并且相反,而此时$\frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)=\mathbf{D}_{e_j}f(x_0)$.


    证明:

    $\Leftarrow:$我们知道
    \begin{equation}
    \label{eq:2}
    \lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0+te_j)-f(x_0)}{t}=L_1
    \end{equation}
    而且由于
    \begin{equation}
    \label{eq:3}
    \lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0-te_j)-f(x_0)}{t}=-\lim_{t\to
    0;t>0}\frac{f(x_0)-f(x_0-te_j)}{t}=-L_1
    \end{equation}
    因此
    \begin{equation}
    \label{eq:4}
    \lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0)-f(x_0-te_j)}{t}=L_{1}
    \end{equation}
    因此
    \begin{equation}
    \label{eq:1}
    \lim_{t\to 0;t\neq 0}\frac{f(x_0+te_j)-f(x_0)}{t}
    \end{equation}
    存在且等于$L_1$(为什么?)


    1.这道题澄清了我头脑里"偏导数"的概念和"方向导数"的概念.注意,偏导的定义要求$t\to 0,t\neq 0$即可,而方向导数却要求$t\to 0,t>0$.

    2.这里"内点"这个条件是不可或缺的.

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