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  • 《几何与代数导引》习题1.36.2


    在直角坐标系下,求下列直线的公垂线方程.
    \begin{equation}
    \begin{cases}
    x+y=1\\
    z=0\\
    \end{cases}
    \end{equation}
    \begin{equation}
    \begin{cases}
      x-z=-1\\
    2y+z=2\\
    \end{cases}
    \end{equation}
    直线1的标准方程为
    \begin{equation}
      \frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{0}
    \end{equation}
    直线2的标准方程为
    \begin{equation}
      \frac{x}{1}=\frac{y-\frac{1}{2}}{\frac{-1}{2}}=\frac{z-1}{1}
    \end{equation}
    因此直线1的方向向量是$(1,-1,0)$,直线2的方向向量为
    $(1,\frac{-1}{2},1)$.设公垂线的方向向量为$(x_0,y_0,z_0)$,则
    \begin{equation}
    \begin{cases}
      x_0=y_0\\
    x_0-\frac{1}{2}y_0+z_0=0\\
    \end{cases}
    \end{equation}
    所以公垂线的方向向量可以是$(2,2,-1)$.所以公垂线方程是
    \begin{equation}
      \frac{x-a}{2}=\frac{y-b}{2}=\frac{z-c}{-1}
    \end{equation}

    联立方程6和方程1可得交点坐标是$(a+2c,b+2c,0)$.且$a+b+4c=1$.联立方程6和
    方程2可得交点坐标为
    $(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})$.且
    $a-2b-2c=-3$.

    $$
    \begin{align*}
    (a+2c,b+2c,0)-(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})&\\=(\frac{a+2b+6c-1}{3},\frac{a+2b+6c-1}{3},\frac{2b-2a-4}{3})
    \end{align*}
    $$
    我们可得
    \begin{equation}
    \frac{a+2b+6c-1}{3}-\frac{a+2b+6c-1}{6}+\frac{2b-2a-4}{3}=0
    \end{equation}

    \begin{equation}
      -a+6b+6c-9=0
    \end{equation}
    于是我们得
    \begin{equation}
      \begin{cases}
        a+b+4c=1\\
    a-2b-2c=-3\\
    -a+6b+6c=9\\
      \end{cases}
    \end{equation}
    于是
    \begin{equation}
      \begin{cases}
        a=0\\
    b=\frac{5}{3}\\
    c=\frac{-1}{6}\\
      \end{cases}
    \end{equation}
    于是公垂线方程为
    \begin{equation}
      \frac{x}{2}=\frac{y-\frac{5}{3}}{2}=\frac{z+\frac{1}{6}}{-1}
    \end{equation}
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