《几何与代数导引》习题1.34.1

过点$(2,-1,3)$,与直线$l_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{0}=\frac{z-2}{2}$相交且垂直.求该直线方程.


解：直线$l_1$的方向向量为$(-1,0,2)$.与方向向量垂直的向量设为
$(x_0,y_0,z_0)$.则
\begin{equation}
  -x_0+2z_0=0
\end{equation}
设$l_2$为满足条件的直线.则$l_2$的方程为
\begin{equation}
  \frac{x-2}{x_0}=\frac{y+1}{y_0}=\frac{z-3}{z_0}
\end{equation}
即$l_2$的方程为
\begin{equation}
  \frac{x-2}{2z_0}=\frac{y+1}{y_0}=\frac{z-3}{z_0}
\end{equation}
且两直线相交，则
\begin{equation}
  \begin{cases}
    2z-x=4\\
2x+z=4\\
  \end{cases}
\end{equation}
解得$z=\frac{12}{5}$,$x=\frac{4}{5}$.因此两直线的交点为
$(\frac{4}{5},0,\frac{12}{5})$.易得
\begin{equation}
  \begin{cases}
    3y_0=-5z_0\\
x_0=2z_0\\
  \end{cases}
\end{equation}
因此直线$l_2$的方程为
\begin{equation}
    \frac{x-2}{6}=\frac{y+1}{-5}=\frac{z-3}{3}
\end{equation}