剑指 Offer 60. n个骰子的点数（动态规划）

• 题目

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。

你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

示例 1:

输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]
示例 2:

输入: 2
输出:[0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]

• 解法：动态规划

说实话，这个简单题还不容易想到动态规划。

 题目目的：计算出投掷完 n枚骰子后每个点数出现的次数。点数和k出现概率计算公式为：

 扔n个骰子，所有点数出现的总次数为6^n（这里需要将所有骰子考虑成是有区别的，假如说3 2 和 2 3 不一样）。

首先我们分写一些基本的性质，每多增加一颗骰子，骰子的和则会增加6，则n个骰子的总和在区间(n*1, n *6 )。那么最大的骰子

这些骰子的和是由每次随机扔的骰子的点数决定，如果从一个个骰子逐渐递增去分析这个概率，其实并不好分析。那么我们从最后的第n个骰子的和j从后往前分析看看：

首先，我们可以建立一个矩阵dp，它的行数k代表扔第n次，它的列数代表扔n次的点数和，dp[k][j]代表扔第k次，和为j的出现次数。可以很清楚的推理出，扔第n个骰子的时候，它的点数可能为1,2,3,4,5,6假设此时的点数和为j，对于扔第n-1个骰子，它的点数和则为j-1,j-2,...,j-6，这样可以递推回去。则就得到了这个公式：

这就是动态规划的转移方程。

那么在扔第1个骰子的时候，我们其实就可以初始化这个dp矩阵了，

for i in range(1, 7):
     dp[1][i] = 1

然后扔骰子的个数从2开始，骰子的和的范围是（k, 6 *k），每次扔的点数的范围是（1,6）。这里需要注意下递推回去的条件：当骰子的和j大于当前次数扔的点数i时，不然这就相当于没扔嘛。

class Solution:
    def twoSum(self, n: int) -> List[float]:
        dp = [[0 for i in range(6*n+1)] for _ in range(n+1)]
        for i in range(1, 7):
            dp[1][i] = 1
        
        for k in range(2, n + 1):
            for j in range(k, 6 * k +1): #这里取k表示最小的骰子和为骰子个数*1
                for i in range(1, 7):
                    if i < j: #说明第n次一定扔了骰子 
                        dp[k][j] += dp[k-1][j-i]
        total_value = pow(6, n)

        return list(map(lambda x: x/total_value, dp[n][n:]))