upd 2021-12-28 放弃更新，都去看这个pdf吧
快问快答环节
距离公式
\[
\begin{aligned}
|Z_1Z_2|&=|z_1-z_2|^2\\
&=(z_1-z_2)(z_1-z_2)^{*}\\
&=(z_1-z_2)(\bar{z_1}-\bar{z_2})\\
&=|z_1|^2+|z_2|^2-(z_1\bar{z_2}+\bar{z_1}z_2)\\
&=z_1\bar{z_1}+z_2\bar{z_2}-(z_1\bar{z_2}+\bar{z_1}z_2)
\end{aligned}
\]
四点共圆公式
\[
\begin{vmatrix}
1 & a &\bar{a} &a\bar{a} \\
1 & b &\bar{b} &b\bar{b} \\
1 & c &\bar{c} &c\bar{c} \\
1 & d &\bar{d} &d\bar{d} \\
\end{vmatrix}=0
\]
是复平面上的复数$a,b,c,d$代表的四点共圆的充要条件
证明：托勒密公式，把距离公式变形一下，最后整理一下
三角形外接圆公式
\[
\begin{vmatrix}
1 & z_1 &\bar{z_1} &z_1\bar{z_1} \\
1 & z_2 &\bar{z_2} &z_2\bar{z_2} \\
1 & z_3 &\bar{z_3} &z_3\bar{z_3} \\
1 & z &\bar{z} &z\bar{z} \\
\end{vmatrix}=0
\]
三角形面积公式（有向面积）
\[
S_{\Delta ABC}=
\frac{i}{4}
\begin{vmatrix}
1 & z_1 & \bar{z_1} \\
1 & z_2 & \bar{z_2} \\
1 & z_3 & \bar{z_3}
\end{vmatrix}
\]
证明：抄课本里的，
\[ \]
\begin S_{\Delta ABC} &=\frac{1}{2}Z_1Z_2\cdot Z_1Z_3\cdot sin\angle Z_2Z_1Z_3\ &=\frac{1}{2}|z_1-z_2|\cdot |z_2-z_3|\cdot Im\frac\cdot |\frac| \ &=\frac{1}{2}Im(\barz_2+\barz_3+\barz_1)\ &=\frac{4}
\begin 1 & z_1 & \bar \ 1 & z_2 & \bar \ 1 & z_3 & \bar \end \end
\[ \]
三点共线
\[
\begin{vmatrix}
1 & z_1 & \bar{z_1} \\
1 & z_2 & \bar{z_2} \\
1 & z_3 & \bar{z_3}
\end{vmatrix}=0
\]
过两点的直线公式
\[
\begin{vmatrix}
1 & z_1 & \bar{z_1} \\
1 & z_2 & \bar{z_2} \\
1 & z & \bar{z}
\end{vmatrix}=0
\]
常见的直线公式
与$O\alpha$垂直的直线方程
\[
\frac{z}{\alpha}+\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=k\ \ (k\in \mathbb{R})
\]
与$O\alpha$斜率相等的直线方程
\[
\frac{z}{\alpha}-\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=k\ \ (k\in \mathbb{R})
\]
特例：$O\alpha$的中垂线方程
\[
\frac{z}{\alpha}+\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=1
\]
特例：经过$\omega$且与$O\alpha$垂直的直线方程
\[
\frac{z}{\alpha}+\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=\frac{\omega}{\alpha}+\frac{\bar{\omega}}{\bar{\alpha}}
\]
特例：经过$\omega$且与$O\alpha$斜率相等的直线方程
\[
\frac{z}{\alpha}-\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=\frac{\omega}{\alpha}-\frac{\bar{\omega}}{\bar{\alpha}}
\]
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