【ML01】线性回归基础用于预测

线性回归可以说是机器学习中最基本的问题类型了，这里就对线性回归的原理和算法做一个小结

目录

1. 背景
2. 简述
3. 内容详解
4. 密度聚类
5. 层次聚类
6. 模型效果判断

附件：手写推导过程练习

一、线性回归函数定义

二、线性回归的模型函数和损失函数由来

原因：中心极限定理

实际问题中，很多随机现象可以看做众多因素的独立影响的综合反应，往往服从正态分布

从最大似然函数角度出发，是使得最大似然越大越好，假设有m个样本，每个样本对应于n维特征和一个结果输出，如下：

从上面式子的后半部分，要使得上式MAX，即使求解后半部分的MIN。这也和我们的目标减小ε的值，使其最小平方数和最小不谋而合:

由于矩阵法表达比较的简洁，后面我们将统一采用矩阵方式表达模型函数和损失函数。

二、最小二乘法

参数解析式:

最小二乘法直接求解的难点：矩阵逆的求解是一个难处

具体可见另一篇文章： 最小二乘法(least squares)介绍

当然线性回归，还有其他的常用算法，比如牛顿法和拟牛顿法，这里不详细描述。

三、 线性回归的推广：多项式回归

四、线性回归的推广：广义线性回归

五、线性回归的正则化（防止过拟合）

为了防止模型的过拟合，我们在建立线性模型的时候经常需要加入正则化项。一般有L1正则化和L2正则化。当然这种方法不是仅仅局限于在线性回归中使用，在后面很多机器学习方法中都有涉及。

使用L2正则的线性回归模型就称为Ridge回归(岭回归)。Ridge回归的求解比较简单，一般用最小二乘法。这里给出用最小二乘法的矩阵推导形式，和普通线性回归类似。

使用L1正则的线性回归模型就称为LASSO回归(Least Absolute Shrinkage andSelection Operator)

LASSO(L1-norm)和Ridge(L2-norm)比较

L1很容易产生为0的稀疏矩阵。因为这种情况下更容易交到坐标轴上。

1. L2-norm中，由于对于各个维度的参数缩放是在一个圆内缩放的，不可能导致有维度参数变为0的情况，那么也就不会产生稀疏解；实际应用中，数据的维度中是存在噪音和冗余的，稀疏的解可以找到有用的维度并且减少冗余(某些系数的值可以降低为0)，提高回归预测的准确性和鲁棒性（减少了overfitting）(L1-norm可以达到最终解的稀疏性的要求)
2. Ridge模型具有较高的准确性、鲁棒性以及稳定性；LASSO模型具有较高的求解速度，常用于特征选择，因为可以降低特征数量。
3. 如果既要考虑稳定性也考虑求解的速度，就使用Elasitc Net同时使用L1正则和L2正则的线性回归模型就称为Elasitc Net算法(弹性网络算法)

总之：一般使用L2，除非希望得到系数解

六、模型效果判断

1. MSE：误差平方和，越趋近于0表示模型越拟合训练数据。
2. RMSE：MSE的平方根，作用同MSE
3. R2：取值范围(负无穷,1]，值越大表示模型越拟合训练数据；最优解是1；当模型预测为随机值的时候，有可能为负；若预测值恒为样本期望，R2为0
4. TSS：总平方和TSS(Total Sum of Squares)，表示样本之间的差异情况，是伪方差的m倍
5. RSS：残差平方和RSS（Residual Sum of Squares），表示预测值和样本值之间的差异情况，是MSE的m倍

七、总结

1. 算法模型：线性回归(Linear)、岭回归(Ridge)、LASSO回归、Elastic Net
2. 正则化：L1-norm、L2-norm
3. 损失函数/目标函数

   

4. θ求解方式：最小二乘法(直接计算，目标函数是平方和损失函数)、梯度下降(BGD\SGD\MBGD)--请看后面的【2】和【3】