10.16 模拟赛
T1
首先，对于全0或者全1可以手推或者打表发现是卡特兰数。
假设从0切换到1或者1切换到0，一定有 $ a_i leq b_i leq b_{i + 1} leq a_{i + 1} $
相当于一定把前 $ i $ 个位置填完了才会开始填 $ i + 1 $ 个位置。
所以直接乘起来就好了。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<set>
using namespace std;
#define int long long
typedef long long ll;
#define MAXN 200006
#define MAXM 450
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define inf 0x3f3f3f3f
#define cmx( a , b ) a = max( a , b )
#define cmn( a , b ) a = min( a , b )
#define upd( a , b ) ( a = ( a + b ) % P )
#define P 998244353
void read( signed& x ) {
scanf("%d",&x);
}
void read( ll& x ) {
scanf("%lld",&x);
}
int power( int x , int a ) {
int cur = x % P , ans = 1;
while( a ) {
if( a & 1 ) ans *= cur , ans %= P;
cur *= cur , cur %= P , a >>= 1;
}
return ans;
}
int n , J[MAXN] , invJ[MAXN];
int cat( int x ) {
return J[2 * x] * invJ[x] % P * invJ[x + 1] % P;
}
signed main() <%
cin >> n;
J[0] = 1 , invJ[0] = 1; for( int i = 1 ; i <= 2 * n ; ++ i ) J[i] = J[i - 1] * i % P , invJ[i] = power( J[i] , P - 2 );
int last = -1 , lst = 0 , res = 1;
for( int i = 1 , t ; i <= n ; ++ i ) {
scanf("%1d",&t);
if( t == last ) ++ lst;
else res *= ( last == -1 ? 1 : cat( lst ) ) , res %= P , last = t , lst = 1;
}
if( lst ) res *= ( last == -1 ? 1 : cat( lst ) ) , res %= P;
cout << res << endl;
%>
/*
* Things you should pay attention to
* inf is big enough?
* out of bounds?
* long long ?
*/
T2
题解写的很清楚了，有问题就看题解了（懒得写一遍了
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<set>
using namespace std;
#define int long long
typedef long long ll;
#define MAXN 200006
#define MAXM 450
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define inf 0x3f3f3f3f
#define cmx( a , b ) a = max( a , b )
#define cmn( a , b ) a = min( a , b )
#define upd( a , b ) ( a = ( a + b ) % P )
#define P 998244353
void read( signed& x ) {
scanf("%d",&x);
}
void read( ll& x ) {
scanf("%lld",&x);
}
int n , m;
int head[MAXN] , to[MAXN << 1] , nex[MAXN << 1] , ecn;
void ade( int u , int v ) {
to[++ecn] = v , nex[ecn] = head[u] , head[u] = ecn;
}
int s[MAXN];
void dfs( int u , int fa , int kel ) {
s[u] = 1;
int flga(1);
for( int i = head[u] ; i ; i = nex[i] ) {
int v = to[i];
if( v == fa ) continue;
dfs( v , u , kel );
s[u] = min( s[u] , s[v] );
flga = 0;
}
s[u] ^= 1;
if( flga ) s[u] = kel;
}
int J[MAXN] , invJ[MAXN];
int C( int x , int a ) {
return J[x] * invJ[a] % P * invJ[x - a] % P;
}
int power( int x , int a ) {
int cur = x % P , ans = 1;
while( a ) {
if( a & 1 ) ans *= cur , ans %= P;
cur *= cur , cur %= P , a >>= 1;
}
return ans;
}
int num00 , num01 , num10;
signed main() {
cin >> n;
J[0] = 1 , invJ[0] = 1; for( int i = 1 ; i <= 2 * n ; ++ i ) J[i] = J[i - 1] * i % P , invJ[i] = power( J[i] , P - 2 );
int num = 0 , res = 0;
for( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {
memset( head , 0 , sizeof head ) , ecn = 0;
read( m );
for( int i = 2 , p ; i <= m ; ++ i )
read( p ) , ade( p , i ) , ade( i , p );
dfs( 1 , 1 , 0 );
int a = s[1] , b;
dfs( 1 , 1 , 1 );
b = s[1];
a ^= 1 , b ^= 1 , swap( a , b );
if( !a && !b ) ++ num00;
if( !a && b ) ++ num01;
if( a && !b ) ++ num10;
}
cout << ( power( 2 , n ) - power( 2 , num00 + num01 + max( num10 - 1 , 0ll ) ) + P ) % P << endl;
}
T3
考虑同一种颜色并且包含的情况，显然是可以舍弃掉这些情况的。
剩下的就容斥 然后 dp 统计。
容斥的式子是 $ s^{t} imes (-1)^k $ t 为未被覆盖的点的个数，k为选择的区间数。
假设 $ dp[i] $ 是只考虑 $ r leq i $ 的区间的答案，并且只考虑 $ 1 ... i $ 的位置可以填数。
首先我们可以选择不拿任何右端点为 $ i $ 的区间，那么直接 $ dp[i] += dp[i-1] imes s $
如果我们拿了某个右端点为 $ i $ 的区间，前一个区间要么是与这个区间没有交，要么与这个区间有交且颜色相同。
在容斥的情况下，我们拿了一个区间，其实就是将前面的贡献乘容斥系数 $ -1 $ 然后再减去这个区间的贡献。因为原式子里面是 $ (-1)^k $
枚举一个右端点是这个点的区间，假设是 $ j $ 那么 $ dp[i] = dp[i] - dp[j.l - 1] $ 这里计算了包含这个区间，上一个区间无交的情况。
同时还有一种情况，选择了这个区间，上一个区间与这里有交，但是颜色相同。这种情况之间线段树统计即可。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<set>
using namespace std;
#define int long long
typedef long long ll;
#define MAXN 500006
#define MAXM 450
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define inf 0x3f3f3f3f
#define cmx( a , b ) a = max( a , b )
#define cmn( a , b ) a = min( a , b )
#define upd( a , b ) ( a = ( a + b ) % P )
#define P 998244353
void read( signed& x ) {
scanf("%d",&x);
}
void read( ll& x ) {
scanf("%lld",&x);
}
int n , m , s;
struct node {
int l , r , b;
};
int ls[MAXN << 3] , rs[MAXN << 3] , T[MAXN << 3] , cn , rt[MAXN];
void mdfy( int &rt , int l , int r , int p , int c ) {
if( !rt ) rt = ++ cn;
T[rt] += c , T[rt] %= P;
if( l == r ) return;
int m = l + r >> 1;
if( p <= m ) mdfy( ls[rt] , l , m , p , c );
else mdfy( rs[rt] , m + 1 , r , p , c );
}
int query( int rt , int l , int r , int L , int R ) {
if( !rt ) return 0;
if( L <= l && R >= r ) return T[rt];
int m = l + r >> 1 , res = 0;
if( L <= m ) res += query( ls[rt] , l , m , L , R ) , res %= P;
if( R > m ) res += query( rs[rt] , m + 1 , r , L , R ) , res %= P;;
return res;
}
bool cmp( node a , node b ) {
return a.l == b.l ? a.r < b.r : a.l > b.l;
}
vector<node> V[MAXN] , S[MAXN];
int dp[MAXN];
signed main() {
read( n ) , read( m ) , read( s );
for( int i = 1 , l , r , b ; i <= m ; ++ i )
read( l ) , read( r ) , read( b ) , V[b].pb( (node) { l , r , b } );
for( int i = 1 ; i <= s ; ++ i ) {
sort( V[i].begin( ) , V[i].end( ) , cmp );
int minr = n + 1;
for( int j = 0 ; j < V[i].size() ; ++ j )
if( V[i][j].r < minr )
S[V[i][j].r].pb( V[i][j] ) , minr = V[i][j].r;
}
dp[0] = 1;
for( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {
dp[i] = dp[i - 1] * s % P;
for( int j = 0 ; j < S[i].size() ; ++ j ) {
int v = 0;
v -= dp[S[i][j].l - 1] , v += P , v %= P;
v -= query( rt[S[i][j].b] , 1 , n , S[i][j].l , S[i][j].r ) , v += P , v %= P;
mdfy( rt[S[i][j].b] , 1 , n , i , v );
dp[i] += v , dp[i] %= P;
}
}
cout << dp[n] << endl;
}