微分方程

需要学会求解的类型

1. 直接套公式法的一阶非齐次线性微分方程

2. 特解十分难算的高阶常系数线性微分方程

3. 可化简的其它类型

概念

1. 齐次方程与非齐次方程
   
   (1). 齐次方程 (:a_1*y^{(n)}+a_2*y^{(n-1)}+...+a_{n-1}*y'+a_n*y= 0,) 相当于线性代数里面的(AX=0.)其中(A_{n} =egin{pmatrix}a_{1} & a_{2} & cdots & a_{n} end{pmatrix}, X =egin{pmatrix}y^{(n)}\y^{(n-1)}\vdots\yend{pmatrix},) 由于通过(y)可以求出对应的(y',y'',...,y^{(n)},) 故微分方程求解即解出(y)的表达式
   
   (2). 非齐次方程(:a_1*y^{(n)}+a_2*y^{(n-1)}+...+a_{n-1}*y'+a_n*y= f_1(x)+f_2(x)+...+f_m(x)\space)
   相当于线性代数里面的(AX=eta,) 其中(eta = g(x) =f_1(x)+...+f_m(x))
   

2. 通解和特解和全部解
   

   • 特解: 符合方程等式成立的任意一个解
   • 通解: 符合方程等式成立的一群解
   • 全部解: 不能遗漏任何一个是方程等式成立的解。

   在方程的等式变形过程中可能会将(y)放到分母位置上, 从而导致丢掉部分解,直接得到的是通解。 通解加上 奇解 就是全部解

   (1). 齐次和非齐次是和其它概念可以并存的, 例如(y' + p(x)*y=q(x))为一阶线性非齐次微分方程, 朴实无华的公式法 , 而(y' + p(x)*y=0)为一阶线性齐次方程, 也就是可分离变量类型的微分方程
   
   (2). 对于齐次方程(A_1X=0)而言, 如果(X_1^*)是方程的一个特解, 且(X_1^* eq 0),即满足(A_1X_1^*=0). 则乘上任意系数(k)后得到的(kX_1^*)仍然为(A_1X=0)的解, 也就是(A_1(kX_1^*)=0), 即齐次方程的通解 = (k) * 齐次方程的不为0的特解
   
   (3)为了和上面的齐次方程做一个区分, 非齐次方程的变元使用(Y).
   对于非齐次方程(A_2Y = eta)的特解(Y_2^*), 即满足(A_2Y_2^* = eta), 同时与之对应的齐次方程(A_2Y=0)的通解(Y_1(=k_1X_1^*+k_2X_2^*+...+k_nX_n^*)), 因为(A_2(Y_1 + Y_2^*)=A_2Y_1+A_2Y_2^*=0+eta=eta), 所以(Y_1+Y_2^*)为非齐次的通解(一片解), 即非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

3. 线性和非线性
   
   (1). 线性方程: 例如从小学开始学习的(3x+1=4)和线性方程组(egin{cases}3x + 5y &= 1 \7x - 2y &= 2end{cases})
   (2). 非线性方程: 高中解的最多的(x^2+ 2x + 1 = 0)或解析几何中的熟悉的联立(egin{cases}frac{x^2}{4} + frac{y^2}{3} &= 1 \x - 2y &= 2end{cases})
   

   线性方程是指待求解的变量的最高幂次(leq) 1的方程, 而非线性方程中待求解变量的最高幂次(>) 1
   所谓待求解的变量和自己的选择有关,例如(y' + x^2*y = x)这里选择求解(y,) 那(x^2)作为系数,对于(y)而言的所有变量的幂次都没有超过1,所以是线性方程, 一般情况下非线性方程不可解, 考察的都是线性方程

计算求解

1. 一阶微分方程: 公式法或左右两边同乘(e^{p(x)})
2. 化简方法: 换元法和x,y位置互换
3. 高阶常系数线性微分方程: 解多项式(求齐次通解) + 算子法(求非齐次特解)

换元法

((1)u = frac{y}{x} ightarrow y=ux ightarrow dy = u*dx + x*du)

((2)u=ax+by+c ightarrow du = a*dx + b*dy)

((3)u=y' ightarrow y'' = frac{dy'}{dx} = frac{du}{dx}=egin{cases} u' & ,缺y可化简型; \ frac{du}{dy}*frac{dy}{dx}=frac{du}{dy}*u &,缺x可化简型; end{cases})

((4)u=y^{1-n}或frac{1}{y^{n-1}} ightarrow du=frac{1}{1-n}*y^{-n} spacespacespacespacespacespacespacespacespace伯努利方程)

((5)u==egin{cases}Inx &, x>0\ In(-x)&, x<0end{cases}spacespacespacespacespacespacespace欧拉方程)

(x,y)位置互换个人认为不算一种具体的方法，而是一种思想。要注意可能会和换元法结合使用

算子法

求高阶非齐次线性微分方程的特解, 即(y^*)
首先约定两个符号(D)(求导)和(frac{1}{D})(积分). 此外((D+1)y)表示(Dy+y),即(y'+y), 而(frac{1}{D+1}y)没有特别含义

计算特解有5种类型:

1. 指数函数(f(x) = e^{kx})
2. 三角函数(f(x) = sin(ax))
3. 多项式(P_n(x) = x^n + x^{n-1} + ... + x)
4. 指数函数 * 三角函数(f(x) = e^{kx}*sin{(ax)}) 和指数函数 * 多项式(f(x)=e^{kx}*P_n(x))
5. 三角函数 * 多项式(f(x) = sin(ax)*P_n(x))

(类型1: f(x) = e^{kx})

解决策略

1. 将高阶导(y^{(n)})写成(D^{n}), 解出(y^* =frac{1}{F(D)}f(x))
2. 令(D = k),
3. 如果不能令(D=k), 向前提取(x)后, 对(D)求导后再令

例题1

(y''- 4y' + 3y = 2e^{(2x)})

解析:

(D^2y-4Dy+3y=2e^{(2x)})

(y^*= frac{1}{(D^2-4D+3)} 2e^{(2x)}spacespacespacespace (y^*只是表示特解))

(常数可以直接提前, 即y^*= 2frac{1}{(D^2-4D+3)} e^{(2x)})

令(D=k=2, y^* = 2*frac{1}{2^2-4*2+3}e^{(2x)} = -2e^{(2x)})

例题2

(y'' + 2y' -3y = e^{(-3x)})

解析:

(D^2y+2Dy-3y=e^{(-3x)})

(y^*= frac{1}{(D^2+2D-3)} e^{(-3x)})

令(D=k=-3, 此时y^* = frac{1}{9-6-3}e^{(-3x)},此时分母为0, 即不可令D=k)

(所以此时y^*= frac{1}{(D^2+2D-3)} e^{(-3x)}xlongequal{对F(D)求导} xfrac{1}{2D+2}e^{(-3x)} = xfrac{1}{-4} e^{(-3x)} = -frac{1}{4}xe^{(-3x)})

(类型2: f(x) = sin(ax)或cos(ax))

解决策略

1. 能令(D^2 = -a^2)则先令
2. 没有(D^2),则分子分母同乘多项式凑出(D^2)后再令
3. 有(D^2)但是不能令, 也就是令完之后分母为0, 一样提取(x)后求导再尝试

例题3

(y'' - y = sinx)

解析:

(y^*= frac{1}{D^2-1} sinx=frac{1}{(-1)-1}sinx=-frac{1}{2}sinx)

例题4

(y'' + 4y = cos(2x))

解析:

(因为y^*= frac{1}{D^2+4} cos(2x)=frac{1}{(-4)+4}cos(2x))

(所以y^* = xfrac{1}{2D}cos(2x) xlongequal{常数可提取} frac{x}{2}frac{1}{D}cos(2x)xlongequal{frac{1}{D}f(x)表示对f(x)进行积分}frac{x*sin(2x)}{4})

例题5

(y'' - 6y' + 9y = cosx)

解析:

(y^* = frac{1}{D^2 - 6D + 9}cosxxlongequal{能令则令} frac{1}{8-6D}cosxxlongequal{没有要凑, 同乘多项式通分}frac{8 + 6D}{64 - 36D^2}cosxxlongequal{能令则令}frac{1}{100}(8+6D)cosx)

(xlongequal{多项式乘法,Df(x)表示求导}frac{1}{100}(8*cosx -6sinx))

(类型3: f(x) = P_n(x)多项式)

解决策略:

1. 使用无穷级数(frac{1}{1-q} = 1+q+q^2+...+q^n), 展开到需要的阶数即可

例题6

(y'' + y = -2x)

解析:

(y^* = frac{1}{D^2 + 1}(-2x)xlongequal{令q=-D^2}(1-D^2+...)(-2x)=-2x 这里的多项式为1阶, 实际上只需要展开到D即可,因为D^2x=0)

例题7

(y'' + y' = x^2)

解析:

(y^* = frac{1}{D^2+D}x^2)

(此时分母中并没有1,所以缺啥补啥,用求极限常见的思路f(x) = f(x)+1-1)

(得到y^* = frac{1}{1-(1-D^2-D)}x^2 =[1+(1-D^2-D)+(1-D^2-D)^2+...+(1-D^2-D)^n]x^2)

(可以看到即使对于(1-D^2-D)^n项, 展开之后仍然可以找到1+k_1D+k_2D^2,因此不能这么展开,否则无法终止)

(另外一种凑1的方法就是因式分解frac{1}{D^2+D}x^2 = frac{1}{D(D+1)}x^2 = frac{1}{D}*frac{1}{D+1}x^2)

(之后再处理frac{1}{D+1}x^2=(1-D+D^2)x^2=x^2-2x+2, 最后处理frac{1}{D}(x^2-2x+2)=frac{1}{3}x^3-x^2+2x)

(类型4. f(x) = e^{kx}*g(x))

解决策略:

移位公式(:frac{1}{F(D)}e^{kx}g(x) = e^{kx}frac{1}{F(D+k)}g(x))

之后按照(g(x))的类型进行求解即可, 属于类型2,3里面重复的内容

(类型5. f(x) = P_n(x)*sin(ax)或P_n(x)*cos(ax))

解决策略:

欧拉公式(:e^{ix} = cosx + i*sinx)

(frac{1}{F(D)}[P_n(x)sin(ax)] =Im {frac{1}{F(D)}[e^{(i*ax)}*P_n(x)]})

(frac{1}{F(D)}[e^{(i*ax)}*P_n(x) xlongequal{移位公式}e^{(i*ax)}frac{1}{F(D+i*ax)}P_n(x),同上)

(Im{})表示对计算结果取虚部