已知正数列${a_n}$对任意自然数$m,n$满足$a_{m+n}leqslant a_m+a_n$,
证明数列$left{frac{a_n}{n}
ight}$收敛.
[
0<a_nleqslant a_{n-1}+a_1leqslant a_{n-2}+2a_1leqslantcdotsleqslant na_1,
]
[
frac{a_{n+1}}{n+1}-frac{a_{n}}{n}=frac{na_{n+1}-(n+1)a_n}{n(n+1)}
=frac{n(a_{n+1}-a_n)-a_n}{n(n+1)}=frac{na_1-a_n}{n(n+1)}geqslant 0,
]
[
ext{数列}left{frac{a_n}{n}
ight} ext{单调有界, 因此收敛.}
]