动态规划

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解决这类问题，则分解得到的子问题数目太多，以至于最后解决原问题需要耗费指数时间。然而，不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，从而得到多项式时间算法。为了达到此目的，可以用一个表来记录所有已解决的子问题的答案。不管子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划的基本思想。

动态规划算法适用于解决最优化问题。通常可以按以下4个步骤设计：（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征。（2）递归地定义最优值。（3）以自底向下的方式计算出最优值。（4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

以下是求解最长公共子序列的算法：

#include<iostream>
#include<string>
#define N 20
using namespace std;
int d[N][N];
int LCSlength(char *a,char *b,int c[][N])
{
int alen=strlen(a);
int blen=strlen(b);
for(int i=0;i<=alen;i++)
c[i][0]=0;
for(int j=0;j<=blen;j++)
c[0][j]=0;
for(i=1;i<=alen;i++)
for(j=1;j<=blen;j++)
if(a[i-1]==b[j-1])
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
else
c[i][j]=c[i][j-1]>c[i-1][j]?c[i][j-1]:c[i-1][j];
return c[alen][blen];
}
char *LCS(char *s,char *a,char *b)
{
int c[N][N];
int i=strlen(a);
int j=strlen(b);
int k=LCSlength(a,b,c);
s[k]='';
while(k>0)
{
if(c[i][j]==c[i-1][j])
i--;
else if(c[i][j]==c[i][j-1])
j--;
else
{
s[--k]=a[i-1];
i--;
j--;
}
}
return s;
}
void main()
{
char *s=new char[N];
char s1[N];
char s2[N];
cout<<"请输入第一个字符串:";
cin>>s1;
cout<<"请输入第二个字符串:";
cin>>s2;
cout<<"最长的公共子序列为:"<<LCS(s,s1,s2)<<endl;
delete s;
cout<<"长度为" <<LCSlength(s1,s2,d)<<endl;
}