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  • 单源最短路径

      1、问题描述

         给定带权有向图G =(V,E),其中每条边的权是非负实数。另外,还给定V中的一个顶点,称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。

        2、Dijkstra算法

         Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。
        其基本思想是,设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时,S中仅含有源。设u是G的某一个顶点,把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径,并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u,将u添加到S中,同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点,dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。

        Dijkstra算法可描述如下,其中输入带权有向图是G=(V,E),V={1,2,…,n},顶点v是源。c是一个二维数组,c[i][j]表示边(i,j)的权。当(i,j)不属于E时,c[i][j]是一个大数。dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度。在Dijkstra算法中做贪心选择时,实际上是考虑当S添加u之后,可能出现一条到顶点的新的特殊路,如果这条新特殊路是先经过老的S到达顶点u,然后从u经过一条边直接到达顶点i,则这种路的最短长度是dist[u]+c[u][i]。如果dist[u]+c[u][i]<dist[i],则需要更新dist[i]的值。步骤如下:

       (1) 用带权的邻接矩阵c来表示带权有向图, c[i][j]表示弧<vi,vj>上的权值。设S为已知最短路径的终点的集合,它的初始状态为空集。从源点v经过S到图上其余各点vi的当前最短路径长度的初值为:dist[i]=c[v][i], vi属于V.
       (2) 选择vu, 使得dist[u]=Min{dist[i] | vi属于V-S},vj就是长度最短的最短路径的终点。令S=S U {u}.

       (3) 修改从v到集合V-S上任一顶点vi的当前最短路径长度:如果 dist[u]+c[u][j]< dist[j] 则修改 dist[j]= dist[u]+c[u][j]. 
       (4) 重复操作(2),(3)共n-1次.

    算法具体实现如下 

    #include<iostream>
    #include<stdlib.h>
    #include<stdio.h>
    using namespace std;
    #define N 5
    #define M 10000

    template<class Type> 
    void Dijkstra(int n,int v,Type dist[],int prev[],Type c[][N+1]) 

    bool s[N+1]; 
    for(int i1=1; i1<=n; i1++) 

    dist[i1] = c[v][i1]; 
    s[i1] = false; 

    if(dist[i1] == M) 

    prev[i1] = 0;

    else 

    prev[i1] = v; 



    dist[v] = 0; 
    s[v] = true; 

    for(int i=1; i<n; i++) 

    int temp = M; 
    int u = v;


    for(int k=1; k<=n; k++) 

    if((!s[k]) && (dist[k]<temp)) 

    u = k; 
    temp = dist[k]; 


    s[u] = true; 


    for(int j=1; j<=n; j++) 

    if((!s[j]) && (c[u][j]<M)) 

    Type newdist = dist[u] + c[u][j]; 
    if(newdist < dist[j]) 

    dist[j] = newdist; 
    prev[j] = u; 







    void Traceback(int v,int i,int prev[]) 

    if(v == i) 

    cout<<i; 
    return; 

    Traceback(v,prev[i],prev); 
    cout<<"->"<<i; 
    }

    int main() 

    int v = 1; 
    int dist[N+1],prev[N+1],c[N+1][N+1]; 

    cout<<"有向图权的矩阵为:"<<endl; 
    for(int i=1; i<=N; i++) 

    for(int j=1; j<=N; j++) 

    cin>>c[i][j]; 

    cout<<endl; 


    Dijkstra(N,v,dist,prev,c); 

    for(int j=2; j<=N; j++) 

    cout<<"源点1到点"<<j<<"的最短路径长度为:"<<dist[j]<<",其路径为"; 
    Traceback(1,j,prev); 
    cout<<endl; 


    return 0; 

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