【模板】最长上升子序列(LIS)及其优化 & 洛谷 AT2827 LIS

最长上升子序列

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传送门

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题意

　　对于给定的一个n个数的序列，找到它的一个最长的子序列，并且保证这个子序列是由低到高排序的。

例如，1 6 2 5 4 6 8的最长上升子序列为1 2 4 6 8。

基本思路

　　非常显然，这类题用dp求解。 dp[i]表示已i为结尾的最长上升子序列的长度，首先枚举每一个末尾i，然后枚举从1到i-1，如果a[1...i-1]<a[i]说明满足上升子序列，就加上一后取max。

　　附上代码。

//LIS O(n^2)
#include<iostream>
using namespace std;
int dp[100005],a[100005],n,maxx=-999;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],dp[i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<i;j++){
            if(a[i]>a[j]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);//如果后面的大于前面的，就取较大的值。 
        }
        maxx=max(maxx,dp[i]);                    //每次更新最大值 
    }
    cout<<maxx;
    return 0;
}

优化

//咕了八个半月的优化。。。。

方法是把dp表示的意义倒过来：dp[i]表示长度为i的最长上升子序列的结尾元素最小是什么。

很显然，dp数组一定是单调递增的。

这时，对于每一个a[i]，我们做出判断：

• 当a[i]比当前最长的序列的最后一个数字还大，那么长度++；
• 否则就二分查找dp数组中第一个>=a[i]的数值，并把它改为a[i]。

为什么呢？

因为这第一个大于等于a[i]的数的前一个数是最后一个小于a[i]的数，然后a[i]这个数就可以接到那个数的后面，又因为我们要保存的是最小值，就更新为a[i]。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100005;
int n,dp[maxn],a[maxn],len;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]>dp[len]) dp[++len]=a[i];
        else{
            dp[lower_bound(dp+1,dp+len+1,a[i])-dp]=a[i];
        }
    }
    cout<<len;
    return 0;
}