洛谷 P2330 [SCOI2005]繁忙的都市(最小生成树)

题目链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2330

题目描述

城市C是一个非常繁忙的大都市，城市中的道路十分的拥挤，于是市长决定对其中的道路进行改造。城市C的道路是这样分布的：城市中有n个交叉路口，有些交叉路口之间有道路相连，两个交叉路口之间最多有一条道路相连接。这些道路是双向的，且把所有的交叉路口直接或间接的连接起来了。每条道路都有一个分值，分值越小表示这个道路越繁忙，越需要进行改造。但是市政府的资金有限，市长希望进行改造的道路越少越好，于是他提出下面的要求：

1．改造的那些道路能够把所有的交叉路口直接或间接的连通起来。 2．在满足要求1的情况下，改造的道路尽量少。 3．在满足要求1、2的情况下，改造的那些道路中分值最大的道路分值尽量小。

任务：作为市规划局的你，应当作出最佳的决策，选择那些道路应当被修建。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数n,m表示城市有n个交叉路口，m条道路。

接下来m行是对每条道路的描述，u, v, c表示交叉路口u和v之间有道路相连，分值为c。(1≤n≤300，1≤c≤10000，1≤m≤100000)

输出格式：

两个整数s, max，表示你选出了几条道路，分值最大的那条道路的分值是多少。

输入输出样例

输入样例：

4 5
1 2 3
1 4 5
2 4 7
2 3 6
3 4 8

输出样例：

3 6

解题思路

首先说一下题意：给你一张n个点m条边的无向图，找出一个满足下面三个条件的图：

• 改造的那些道路能够把所有的交叉路口直接或间接的连通起来。
• 在满足要求1的情况下，改造的道路尽量少。
• 在满足要求1、2的情况下，改造的那些道路中分值最大的道路分值尽量小。

根据要求1，可知这是一个连通图。根据要求2，可知这是一棵树，n个点，n-1条边。根据要求3，可知这是一颗最小瓶颈生成树。

什么是最小瓶颈生成树呢？请看：https://www.cnblogs.com/yinyuqin/p/10779387.html#index_6

所以，我们只需要跑一边最小生成树即可。最后看输出格式，先输出边数，显然是n-1条；然后输出边权最大是多少，所以我们只要记下最小生成树中边权最大的边即可。

关于最小生成树，这里有我的两篇博客，第一篇是prim算法，第二篇是Kruskal算法。这里用的是Kruskal算法。

prim算法：https://www.cnblogs.com/yinyuqin/p/10779387.html

Kruskal算法：https://www.cnblogs.com/yinyuqin/p/10780769.html

附上AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct edge{
    int qidian;
    int zhongdian;
    int value; 
}bian[100005];
int n,m,fa[305],ans=-1;
bool cmp(edge a,edge b){
    return a.value<b.value;
}
int find(int x){
    if(fa[x]==x) return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++){
    cin>>bian[i].qidian>>bian[i].zhongdian>>bian[i].value;
}
sort(bian+1,bian+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=m;i++){
    int p1=bian[i].qidian;
    int p2=bian[i].zhongdian;
    int f1=find(p1),f2=find(p2);
    if(f1!=f2){
        ans=max(ans,bian[i].value);    //ans每一次取最小生成树上的最长边。 
        fa[f1]=f2;
    }
}
cout<<n-1<<" "<<ans;                //最少一定是n-1条边。 
return 0;
}