BZOJ1045

传送门：BZOJ1045

结论题。

设i顺时针传给下一个人的数量为xi，目标平均值值为ave
则目标就是让ai−xi+xi−1=ave的前提下最小化

∑i=1n|xi|

能够构造出
a1−x1+x2=ave
a2−x2+x3=ave
a1−x3+x4=ave
…..
an−xn+x1=ave

这个方程组有n个方程和n个变量，但显然。最后一个方程式无意义。

于是考虑:
a1−x1+x2=ave⟹x2=ave+x1−a1
a2−x2+x3=ave⟹x3=ave+x2−a2=2×ave−a1−a2+x1
a3−x3+x4=ave⟹x3=3×ave−a1−a2−a3+x1
…
an−xn+x1=ave，无意义

这仅仅要自己计算一下就能够明确，记ci=(∑ij=1aj)−i×ave。于是有
x2=x1−c1
x3=x1−c2
……
∀i≥2,xi=x1−ci−1
于是最小化的目标函数就是

|x1|+∑i=1n−1|x1−ci|=|x1−0|+∑i=1n−1|x1−ci|

也就是说，给出数轴上的点(0,c1,c2,c3...cn−1)，求一个点y,令y到所有点的距离和最小
显然。点y就是所有点的中位数

完毕推导后做法还是非常优雅的。

代码上的小细节见下。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

int n;
int a[1000005];
int c[1000005];
long long ave;

void Solve()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
        c[i]=c[i-1]+a[i]-ave;
    sort(c+1,c+n+1);
    long long ans=0;
    int j=(1+n)/2;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=abs(c[j]-c[i]);
    cout<<ans;
}

void Readdata()
{
    freopen("loli.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ave+=a[i];
    ave/=n;
}

void Close()
{
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
}

int main()
{
    Readdata();
    Solve();
    Close();
    return 0;
}