60.Median of Two Sorted Arrays（两个排序数组的中位数）

Level：

  Hard

题目描述：

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

You may assume nums1 and nums2 cannot be both empty.

Example 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

The median is 2.0

Example 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

The median is (2 + 3)/2 = 2.5

思路分析：

  该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

  首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

  当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

  当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

  通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

代码：

public class Solution{
    public double findMedianSortedArrays(int []A,int []B){
        int m=A.length;
        int n=B.length;
        int l=(m+n+1)/2; 
        int r=(m+n+2)/2; //两个数组的长度和可能是奇数也可能是偶数
        return(getkth(A,0,B,0,l)+getkth(A,0,B,0,r))/2;
}
    public double getkth(int []A,int astart,int[]B,int bstart,int k){
        if(astart>A.length-1)
            return B[bstart+k-1];
        if(bstart>B.length-1)
            return A[astart+k-1];
        if(k==1)
            return Math.min(A[astart],B[bstart]);
        int amid=Integer.MAX_VALUE;
        int bmid=Integer.MAX_VALUE;
        if(astart+k/2-1<A.length)
            amid=A[astart+k/2-1];
        if(bstart+k/2-1<B.length)
            bmid=B[bstart+k/2-1];
        if(amid<bmid)
            return getkth(A,astart+k/2,B,bstart,k-k/2);
        else 
            return getkth(A,astart,B,bstart+k/2,k-k/2);
        
    }
}