差分序列

差分序列

0阶差分序列（就是序列本生）：     h0,h1,h2,···,hn,···
1阶差分（△hn = hn+1 - hn）:    △h0,△h1,△h2,···,△hn,···
······

定理一：
    设序列的通项公式是n的p次多项式，即
        hn = a(p)*n^p + a(p-1)*n^p-1 + ··· + a1*n + a0
    则对所有△(p+1)hn = 0.

定理二：
    差分表的第0条对角线等于
            c0,c1,c2,···,cp,0,0,0,···,  其中cp != 0
    的序列的通项公式满足
            hn = c0(n,0) + c1(n,1)+c2(n,2)+···+cp(n,p)

定理三：
    差分表的第0条对角线等于
            c0,c1,c2,···,cp,0,0,0,···,  其中cp != 0
    则
        k(0-n)∑hk = c0(n+1,1) + c1(n+2,2) + ··· + cp(n+1,p+1)




1.给出了一个数列的前若干项，要求推测后面的项

int h[MAXN][MAXN];      // 存放差分序列，h[i][MAXN]为i阶差分
int n;                  // 前n个数
int m;                  // 要得到的后n个数

//计算差分序列
void CalDifferentSequence()
{
    for(int i = 1; i < n; ++i)
        for(int j = 0; i+j < n; ++j)
            h[i][j] = h[i-1][j+1] - h[i-1][j];
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
        h[n-1][i] = h[n-1][0];
    for(int i = n-2; i >= 0; --i)
        for(int j = 0; j < m; ++j)
            h[i][n-i+j] = h[i][n-i+j-1] + h[i+1][n-i+j-1];
}

POJ 2515 Birthday Cake

题意：给定m和n，求∑(i^m) (1<= i <= n)，1 <= n <= 10 ^ 41 and 3 <= m <= 100。

思路：n很大m很小可以直接利用定理三求解。

code：

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    
    public final int MAXN = 105;
    
    Scanner cin = new Scanner(System.in);
    public BigInteger c[] = new  BigInteger[MAXN];
    BigInteger h[][] = new BigInteger[MAXN][MAXN];
    BigInteger N;
    int M;
    void init() {
        c[1] = N;
        for(int i = 2; i <= M + 1; ++i) {
            c[i] = c[i-1].multiply(N.subtract(BigInteger.valueOf(i-1))).divide(BigInteger.valueOf(i));
        }
    }
    
    void solve() {
        int T = cin.nextInt();
        while (T-- > 0) {
            N = cin.nextBigInteger();
            N = N.add(BigInteger.ONE);
            M = cin.nextInt();
            init();
            for (int i = 0; i <= M; ++i) {
                h[0][i] = BigInteger.valueOf(i).pow(M);
            }
            for (int i = 1; i <= M; ++i) {
                for (int j = 0; j <= M - i; ++j) {
                    h[i][j] = h[i - 1][j + 1].subtract(h[i - 1][j]);
                }
            }
            BigInteger ans = BigInteger.ZERO;
            for (int i = 0; i <= M; ++i) {
                ans = ans.add(c[i+1].multiply(h[i][0]));
            }
            System.out.println(ans);
        }
        cin.close();
    }
    
    public static void main(String[] args) {        
        new Main().solve();
    }

}