博弈题目小结

HDU 2174 kiki's game

题意：有一个N*M的棋盘，起点在右上角，两个人每轮可把棋子向左、向下或者向左下移动一格，直到不能移动棋子者输。

NP图解决：

概念：

必败点（P点）：前一个选手将取胜的位置称为必败点。

必胜点（N点）：下一个选手将取胜的位置成为必胜点。

性质：

步骤：

 NP图：

AC code:

#include <bits/stdc++.h>
#define inc(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
#define rep(i, j, k) for(int i = j; i < k; i++)
#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MEM(i, j) memset(i, j, sizeof(i));
#define gcd(i, j) __gcd(i, j)
using namespace std;

int main()
{
    int a, b;
    while(~scanf("%d %d", &a, &b)){
        if(a == 0 && b == 0) break;
        if(a%2 == 1 && b%2 == 1) puts("What a pity!");
        else puts("Wonderful!");
    }
    return 0;
}

 HDU 2149  Public Sale

题意：

底价为 0，最低成交价为 M，两位博弈，每轮叫价区间 1~N

求 先手开始有多少种取胜叫价，输出每种叫价值。

解题思路：

巴什博弈变形，只要能把 （N+1) * t 留给对手必胜，如果自己是(N+1)*r 必败。

AC code:

#include <bits/stdc++.h>
#define inc(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
#define rep(i, j, k) for(int i = j; i < k; i++)
#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MEM(i, j) memset(i, j, sizeof(i));
#define gcd(i, j) __gcd(i, j)
using namespace std;

int main()
{
    int N, M;
    while(~scanf("%d %d", &M, &N)){
        if(M <= N){
            for(int i = M; i <= N; i++){
                printf("%d%c", i, i==N?'
':' ');
            }
        }
        else if(M%(N+1) == 0) puts("none");
        else{
            printf("%d
", M%(N+1));
        }
    }
    return 0;
}

HDU 1907 John

题意：

有 N 堆物品，每轮选着一堆拿走若干物品，拿走最后一个物品的输；

解题思路：

Nim博弈变形，异或判断是否为奇异局势， 面对奇异局势先手必败，如果全是 1 判断奇偶性，偶数则先手胜。

AC code：

#include <bits/stdc++.h>
#define inc(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
#define rep(i, j, k) for(int i = j; i < k; i++)
#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MEM(i, j) memset(i, j, sizeof(i));
#define gcd(i, j) __gcd(i, j)
using namespace std;
char ans1[] = "John", ans2[] = "Brother";
int main()
{
    int N, sum;
    bool flag = false;
    int T_case, tp;
    scanf("%d", &T_case);
    while(T_case--){
        flag = false;
        scanf("%d", &N);scanf("%d", &sum);
        if(sum > 1) flag = true;
        inc(i, 2, N){
            scanf("%d", &tp);
            if(tp > 1) flag = true;
            sum^=tp;
        }
        if(!flag) printf("%s", N%2?ans2:ans1);
        else printf("%s", sum==0?ans2:ans1);
        puts("");
    }
    return 0;
}

HDU 2509 Be the Winner

题意：同上；

解题思路：同上；

HDU 1850 Being a Good Boy in Spring Festival

题意：有 N 堆 扑克牌，每轮选择其中一堆拿走任意张牌，拿走最后一张牌的胜，问先手如果想取胜，第一步有多少种选择？

解题思路：

Nim博弈变形；

原理、方法都很详细：https://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2011/11/24/2262389.html

即枚举每一堆是否可以删掉一些值维持最后 NIM 游戏的状态， NIM 游戏的最后状态是唯一不变的。

AC code:

#include <bits/stdc++.h>
#define inc(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
#define rep(i, j, k) for(int i = j; i < k; i++)
#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MEM(i, j) memset(i, j, sizeof(i));
#define gcd(i, j) __gcd(i, j)
using namespace std;
const int MAXN = 2e5+10;
int tp[MAXN];
int main()
{
    int N, sum = 0;
    while(~scanf("%d", &N) && N){
        int ans = 0;
        scanf("%d", &sum);
        tp[1] = sum;
        inc(i, 2, N){
            scanf("%d", &tp[i]);
            sum^=tp[i];
        }
        inc(i, 1, N){
            if(tp[i] > (sum^tp[i])) ans++;
        }
        printf("%d
", ans);
    }
    return 0;
}

HDU 1536 S-Nim

题意：

给出一个集合 S 表示游戏中可选的数目，接下来给定 M 个游戏局面即 N 堆物品的大小。两人轮流选择一堆取数 只能取 ∈S 的数目，取走最后一个胜。判断游戏局面是先手胜还是后手胜。

题目给出了SG函数的用途和求法。

解题思路：

SG函数模板。

AC code:

#include <bits/stdc++.h>
#define inc(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
#define rep(i, j, k) for(int i = j; i < k; i++)
#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MEM(i, j) memset(i, j, sizeof(i));
#define gcd(i, j) __gcd(i, j)
using namespace std;
const int MAXN = 2e3+10;
const int MM = 1e4+5;
int S[MAXN], sg[MM];
int vis[MM];
string ans;

void getsg(int n)
{
    sg[0] = 0;
    memset(vis, -1, sizeof(vis));
    inc(i, 1, MM){
        inc(j, 1, n){
            if(S[j] > i) break;
            vis[sg[i-S[j]]] = i;
        }
//        puts("zjj");
        int k = 0;
        while(vis[k] == i) k++;
        sg[i] = k;
    }
}

int main()
{
    int N, M, K, tp, res;

    while(~scanf("%d", &N) && N){
        ans = "";
        inc(i, 1, N) scanf("%d", &S[i]);
        //inc(i, 1, N) printf("%d ", S[i]);
        sort(S+1, S+N+1);
        getsg(N);
//        puts("zjj");
        scanf("%d", &K);
        while(K--){
            scanf("%d", &M);
//            scanf("%d", &res);
            res = 0;
            inc(i, 1, M){
                scanf("%d", &tp);
                res^=sg[tp];
            }
            if(res == 0) ans+='L';
            else ans+='W';
        }
        cout << ans << endl;
    }

    return 0;
}

HDU 1849 Rabbit and Grass

题意：一维棋盘，给出每个棋子的初始位置，两人轮流选择一个棋子走到左边任意点。

解题思路：NIM游戏，把棋子移动看成取石子。

AC code：

#include <bits/stdc++.h>
#define inc(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
#define rep(i, j, k) for(int i = j; i < k; i++)
#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MEM(i, j) memset(i, j, sizeof(i));
#define gcd(i, j) __gcd(i, j)
using namespace std;

int main()
{
    int N, ans, tp;
    while(~scanf("%d", &N) && N){
        ans = 0;
        inc(i, 1, N){
            scanf("%d", &tp);
            ans^=tp;
        }
        if(!ans) puts("Grass Win!");
        else puts("Rabbit Win!");
    }
    return 0;
}

HDU 1851 A Simple Game

题意：N堆物品，每堆每次最多取L个，每人轮流取东西，取走最后那个的获胜。

解题思路： NIM游戏，每一堆单独作为一个NIM游戏 M%L若为0 先手输，否则后手输, 因为双方都采取最佳策略，所以最后把每一堆的结果异或起来即可。

AC code:

#include <bits/stdc++.h>
#define inc(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
#define rep(i, j, k) for(int i = j; i < k; i++)
#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MEM(i, j) memset(i, j, sizeof(i));
#define gcd(i, j) __gcd(i, j)
using namespace std;

int main()
{
    int N, ans, tp;
    while(~scanf("%d", &N) && N){
        ans = 0;
        inc(i, 1, N){
            scanf("%d", &tp);
            ans^=tp;
        }
        if(!ans) puts("Grass Win!");
        else puts("Rabbit Win!");
    }
    return 0;
}

HDU 2897 邂逅明下

题意：一堆大小为 N 的物品，两人轮流取物品，取值范围 [ p, q ]， 若堆物品的数量小于等于 p 则该轮需要全部取走，取走最后物品的败，先手是否能取胜。

解题思路：Bash博弈变形 如果当前 N == （p+q)*r 先手必胜，因为 先手先取 q 个，接下来每次后手取 k 个，先手取（p+q)-k , 最后剩下一个 p 给后手 ；

　　　　　　　　　　　  如果当前 N == （p+q)*r + res,  若  p < res 则 先手胜，先手一开始取 res-p 个， 接下来后手每次取 k 个，先手取 （p+q)-k 个，最后留给后手的肯定 等于 p；

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 若 res < p 则后手胜， 因为无论 先手取 k ，后手取 （p+q）-k ,最后把 res 留给先手。

AC code:

#include <bits/stdc++.h>
#define inc(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
#define rep(i, j, k) for(int i = j; i < k; i++)
#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MEM(i, j) memset(i, j, sizeof(i));
#define gcd(i, j) __gcd(i, j)
using namespace std;

int main()
{
    int N, p, q;
    while(~scanf("%d %d %d", &N, &p, &q)){
        int res = N%(p+q);
        if(res == 0 || (res > p && res < p+q)) puts("WIN");
        else puts("LOST");
    }
    return 0;
}

HDU 2516 取石子游戏

题意：有一堆大小为 N 的石子，第一轮可以取任意数量的石子，但不能全取，接下来每一轮只能取不超过上一轮取数得两倍的石子，没有石子取得输。

解题思路：

斐波那契博弈(Fibonacci Nim)

有一堆个数为n(n>=2)的石子，游戏双方轮流取石子，规则如下：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完，至少取1颗；

2)之后每次可以取的石子数至少为1，至多为对手刚取的石子数的2倍。

约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

结论：当n为Fibonacci数的时候，必败。

f[i]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……

AC code:

#include <bits/stdc++.h>
#define inc(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
#define rep(i, j, k) for(int i = j; i < k; i++)
#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MEM(i, j) memset(i, j, sizeof(i));
#define gcd(i, j) __gcd(i, j)
using namespace std;
const int MAXN = 50;
LL m[MAXN];
int main()
{
    m[0] = 0;
    m[1] = 1;
    m[2] = 2;
    for(int i = 3; i < MAXN; i++){
        m[i] = m[i-1]+m[i-2];
//        cout << m[i] << endl;
    }
//    printf("%d
", m[MAXN-1]);
    LL N;
    while(~scanf("%lld", &N) && N){
        bool flag = true;
        for(int i = 0; i < MAXN; i++){
            if(m[i] == N){
                flag = false;
            }
        }
        if(flag) puts("First win");
        else puts("Second win");

    }
    return 0;
}

HDU 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!

题意：N 堆物品，两人轮流取，只能取 2的幂次倍， 取走最后一个的胜。

解题思路： NP分析，必败点为 0，从必败点加任意一个二次幂都是必胜点，即必胜点一定可以删掉一个二次幂变成一个必败点。

　　　　　　所以这题类似于素数筛，从小的 P点 开始筛 N 点，遍历过去如果遇到未被前面筛掉的点必定为 P 点（因为未被前面的 P 点筛到，说明当前点的值由两个 N 点组成，所以无论 当前点如何作差最后都是变成 一个 N 点，后手必胜），所以直接筛过去是合理的。

AC code:

#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define inc(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
#define rep(i, j, k) for(int i = j; i < k; i++)
#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MEM(i, j) memset(i, j, sizeof(i));
#define gcd(i, j) __gcd(i, j)
using namespace std;
const int MAXN = 1e3+10;
bool f[MAXN];
void init()
{
    MEM(f, 0);
    rep(i, 0, MAXN){
        if(!f[i]){
            int tp = 1;
            while(i+tp < MAXN){
                f[i+tp] = true;
                tp<<=1;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int N;
    init();
    while(~scanf("%d", &N)){
        if(f[N]) puts("Kiki");
        else puts("Cici");
    }
    return 0;
}

HDU 1079 Calendar Game

题意：给定一个起始日期，可以跳到下个月的这一天或者下一天，如果下个月没有这一天就只能跳到下一天。最后恰好跳到 2001/11/04 的人获胜，超过这个日期的会失败。

解题思路：NP分析，可以直接找规律，也可以直接记忆化搜索转移状态。

AC code:

#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define inc(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
#define rep(i, j, k) for(int i = j; i < k; i++)
#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MEM(i, j) memset(i, j, sizeof(i));
#define gcd(i, j) __gcd(i, j)
using namespace std;
const int MAXN = 2e3+10;
int dat[MAXN][50][50];
int da[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
bool check(int yy, int mm, int dd)
{
    if(mm > 12) return false;
    if(((yy%4==0 && yy%100!=0) || yy%400==0) && mm == 2 && dd <= 29) return true;
    if(da[mm] < dd) return false;
    return true;
}

int solve(int yy, int mm, int dd)
{
    if(dat[yy][mm][dd] != -1) return dat[yy][mm][dd];
    if(yy > 2001) return dat[yy][mm][dd] = 1;
    if(yy == 2001 && mm > 11) return dat[yy][mm][dd] = 1;
    if(yy == 2001 && mm == 11 && dd > 4) return dat[yy][mm][dd] = 1;
    if(yy == 2001 && mm == 11 && dd == 4) return dat[yy][mm][dd] = 0;

    int ty = yy, tm = mm, td = dd;
    td++;
    if(((yy%4==0 && yy%100!=0) || yy%400==0) && tm == 2){
        if(td > 29){
            td = 1;
            tm++;
        }
        if(solve(ty, tm, td) == 0) return dat[yy][mm][dd] = 1;
    }
    else{
        if(da[tm] < td){
            td = 1;
            tm++;
        }
        if(tm > 12) tm = 1, ty++;
        if(solve(ty, tm, td) == 0) return dat[yy][mm][dd] = 1;
    }

    ty = yy, tm = mm, td = dd;
    tm++;
    if(tm > 12) ty++, tm = 1;
    if(check(ty, tm, td) && solve(ty, tm, td) == 0) return dat[yy][mm][dd] = 1;

    return dat[yy][mm][dd] = 0;

}

int main()
{
    MEM(dat, -1);
    int T_case, y, m, d;
    scanf("%d", &T_case);
    while(T_case--){
        scanf("%d %d %d", &y, &m, &d);
        if(solve(y, m, d)) puts("YES");
        else puts("NO");
    }
    return 0;
}

// (天数+日数）偶数是真，奇数是假，例外：9/30 11/30
//#include <set>
//#include <map>
//#include <queue>
//#include <cmath>
//#include <cstdio>
//#include <string>
//#include <vector>
//#include <cstdlib>
//#include <cstring>
//#include <iostream>
//#include <algorithm>
//#define inc(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
//#define rep(i, j, k) for(int i = j; i < k; i++)
//#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
//#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
//#define INF 0x3f3f3f3f
//#define LL long long
//#define MEM(i, j) memset(i, j, sizeof(i));
//#define gcd(i, j) __gcd(i, j)
//using namespace std;
//int main()
//{
//    int T_case;
//    int yy,mm,dd;
//    scanf("%d",&T_case);
//    while(T_case--)
//    {
//        scanf("%d%d%d",&yy,&mm,&dd);
//        if( (dd+mm)%2 == 0 || (mm == 9 && dd == 30) || (mm == 11 && dd == 30) ) puts("YES");
//        else puts("NO");
//    }
//    return 0;
//}