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  • SJ定理的坑点

    由于出题人在膜你赛出了假题,于是就发现了这个坑点……
    反正这个出题人出的都是假题
    我感觉这个好像大多数人都没有注意到0_0

    建议看下贾志豪的组合游戏论文,反正下面大多是贺来的,而且我还懒得贺证明……

    先是一些定义和结论

    (f Anti-Nim)

    定义

    • 桌子上有 N 堆石子,游戏者轮流取石子。
    • 每次只能从一堆中取出任意数目的石子,但不能不取。
    • 取走最后一个石子者败。

    结论

    先手必胜当且仅当:

    • 所有堆的石子数都为 1 且游戏的 SG 值为 0
    • 有些堆的石子数大于 1 且游戏的 SG 值不为 0

    (f Anti-SG)

    定义

    • Anti-SG 游戏规定,决策集合为空的游戏者赢。
    • Anti-SG 其他规则与 SG 游戏相同。

    SJ 定理

    对于任意一个 Anti-SG 游戏,如果我们规定当局面中所有的单一游戏的 SG 值为 0 时,游戏结束,则先手必胜当且仅当:

    • 游戏的 SG 函 数不为 0 且游戏中某个单一游戏的 SG 函数大于 1
    • 游戏的 SG 函数 为 0 且游戏中没有单一游戏的 SG 函数大于 1。

    注意:加粗部分灰常重要,如果所有单一游戏SG值都为0,而游戏还未结束的话,SJ定理是不适用的。

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