染色
(f Description)
一个平面图，只有与坐标轴平行的边和成45°的边，构造一个四色的染色方案。
(f Solution)
按照从上到下，从左到右的顺序染色，每个点被染到的时候最多会连向四个点，显然我们只需要考虑这四个点颜色不同的情况。假设这四种颜色是abcd。
如果我们要将当前这个点染成a，那么我们要将a改成c，然后顺着这条路，把a和c翻转（实际上并不是一条路，而是一个二分图），如果沿着这条路走不会从1号点走到3号点，那么由于1号点连出去的是个二分图，直接全部翻转就好了。否则的话我们发现由于这是一个平面图，那么2号点和4号点是不会连上的，于是可以随便翻转一边。
【清华集训2014】矩阵变换
实际上就是给每行匹配一个数，我们让 (pos[i][j]) 表示 (i) 这个数在第 (j) 行的位置。假设第 (i) 行匹配的数是 (x) ，那么要满足对于所有 (pos[x][j]>pos[x][i]) 的行 (j) ，需要有 (pos[match[j]][j]<pos[x][j])，这实际上就是一个稳定婚姻问题。（稳定婚姻的要求就是不能双飞）
周指导讲的东西
引入问题
一个 (n imes kn) 的格子，从左下角走到右上角，不能经过 (y=kx) ，求方案数。
一般化问题的解法
给定数列 (a) ，对于任意经过的 ((x,y)) ，要满足 (y leq a_x) 。
先把 (a_i) 取个前缀min显然不影响答案。
用 (f(L,R,U,D)) 表示在这一块里从最下面一行走到最右面一列的方案数。
取 (mid=frac{L+R}{2}) ，左下和右上变成了更小的子问题，右下角那一块是没有限制的，可以FFT优化一下，系数大概就是一堆组合数？
丑陋而莫名其妙的图片。。
这样是两个log的。
回到最开始的问题，由于子问题是一样的，于是发现可以倍增FFT做了。
更优良的做法
OEIS一下
封闭形式是 ({kn+n choose n}/(kn+1)) （不是很确定）
生成函数是 (G(x)=1+xG^{k+1}(x)) ，组合意义并没有理解。。
然后封闭形式的话，《具体数学》P302-305
首先搞一个数列 (a) ，其中 (a_i in mathbb Z)，并且 (sum a_i=1)，而且要满足 (a) 的所有前缀和 (>0)
可以发现一些性质：在 (a) 的所有轮换中，只有 (a) 是满足后面那个条件的。并且不会出现 (a) 及其所有轮换都不满足后面那个条件的情况。
对于卡特兰数，可以认为 (a) 的取值是 (n) 个 (1) 和 (n) 个 (-1)，并且为了从 (geq 0) 变成 (>0) 我们在前面加一个 (1)，一个符合条件的数列有 (2n+1) 个轮换，于是就很容易得到方案数是
推广到 (n imes kn) 的方格，我们认为向右走是 (+k) ，向上走是 (-1) ，类比卡特兰数就可以得到方案数是
然后就可以切题了？
em，这东西好像叫Raney定理。。