bzoj 1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere 高斯消元

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1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

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Description

有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

第一行是一个整数，n。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

数据规模：

对于40%的数据，1<=n<=3

对于100%的数据，1<=n<=10

提示：给出两个定义：

1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。

2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

 

设圆心为(a1, a2, ....an), 一个点为(b1, b2....bn)， 那么半径的平方就为sigma(i : 1 to n) （ai-bi)^2.  在设另外一个点为(c1, c2.....cn), 那么可以得出sigma(i : 1 to n) （ai-bi)^2 = sigma(i : 1 to n) （ai-ci)^2。 移项， 将有a1...an的项移到方程左边， 没有的在右边， 发现右边是一个定值， 为sigma(i : 1 to n) (ci^2-bi^2),  左边是sigma(i ： 1 to n) 2*ai(ci-bi),  这就是一个以ai为未知数的方程。 因为有n+1个点， 所以我们可以用第一个点和剩下的n个点列出n个方程。 然后高斯消元就可以了。

 

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
using namespace std;
#define pb(x) push_back(x)
#define ll long long
#define mk(x, y) make_pair(x, y)
#define lson l, m, rt<<1
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define rson m+1, r, rt<<1|1
#define mem1(a) memset(a, -1, sizeof(a))
#define mem2(a) memset(a, 0x3f, sizeof(a))
#define rep(i, n, a) for(int i = a; i<n; i++)
#define fi first
#define se second
typedef pair<int, int> pll;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
const int mod = 1e9+7;
const int inf = 1061109567;
const int dir[][2] = { {-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1} };
double a[50][50], ans[50];
int n, l[50];
int gauss(){
    int i, j, k, r = 0;
    double tmp;
    mem(l);
    for(i = 0; i<n; i++){
        for(j = r; j<n; j++)
            if(fabs(a[j][i])>eps){
                for(k = i; k<=n; k++)
                    swap(a[j][k],a[r][k]);
                break;
            }
        if(fabs(a[r][i])<eps)
            continue;
        for(j = 0; j<n; j++)
            if(j != r && fabs(a[j][i])>eps){
                tmp = a[j][i]/a[r][i];
                for(k = i; k<=n; k++)
                    a[j][k] -= tmp*a[r][k];
            }
        l[i] = 1;
        r++;
    }
    for(i = 0; i<n; i++)
        if(l[i]) {
            for(j = 0; j<n; j++)
                if(fabs(a[j][i])>eps)
                    ans[i] = a[j][n]/a[j][i];
        }
    for(i = r; i<n; i++)
        if(fabs(a[i][n])>eps)
            return -1;
    return n-r;
}
double p[12][12];
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i = 0; i<n+1; i++) {
        for(int j = 0; j<n; j++) {
            scanf("%lf", &p[i][j]);
        }
    }
    for(int i = 1; i<n+1; i++) {
        for(int j = 0; j<n; j++) {
            a[i-1][j] = 2*(p[i][j]-p[0][j]);
            a[i-1][n] += p[i][j]*p[i][j];
            a[i-1][n] -= p[0][j]*p[0][j];
        }
    }
    gauss();
    for(int i = 0; i<n-1; i++) {
        printf("%.3f ", ans[i]);
    }
    printf("%.3f
", ans[n-1]);
    return 0;
}