最长公共子序列

想要了解最长公共子序列首先要清楚这些概念：

<1> 子序列：就是在原序列中找出一部分组成的序列。 例：字符串“abcdefg” 的子序列有 “ac”、“ade”....一共有2⁷个子序列

<2> 最长公共子序列：一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

　　　　　　　　　　　例：字符串“cnblogs”和“belong”的最长公共子序列为“blog”。

　　　　　　　　　　　仔细想想我们可以发现其实最长公共子序列的个数不是唯一的，可能会有两个以上，

　　　　　　　　　　　但是长度一定是唯一的，比如这里的最长公共子序列的长度为4。

<3> 子串：串中任意个连续的字符组成的子序列称为该串的子串

<4> 最长公共子串：两个字符串中，最长的相同子字符串的长度

最长公共子串（Longest Common Substirng）和最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的区别为：

　　　　　　子串是串的一个连续的部分，子序列则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列；也就是说，子串中字符的位置必须是连续的，子序列则可以不必连续。

最长公共子序列的应用：最长公共子序列是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，

　　　　　　　　　　　即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。对一段文字进行修改之后，

　　　　　　　　　　　计算改动前后文字的最长公共子序列，将除此子序列外的部分提取出来，

　　　　　　　　　　　这种方法判断修改的部分，往往十分准确。简而言之，百度知道、百度百科都用得上。

解决最长公共子序列问题 最好的选择 ---> “动态规划”

动态规划的计算两个序列的最长公共子序列的方法如下：

以两个序列 s1、s2 为例子：

设有二维数组x[i,j] 表示 s1 的 i 位和 s2 的 j 位之前的最长公共子序列的长度，则有：

x[1][1] = same(1,1);

x[i,j] = max{x[i-1][j -1] + same(i,j),x[i-1,j],x[i,j-1]}

其中，same(a,b)当 X 的第 a 位与 Y 的第 b 位相同时为“1”，否则为“0”。

此时，二维数组中最大的数便是 s1 和 s2 的最长公共子序列的长度，依据该数组回溯，便可找出最长公共子序列。

该算法的空间、时间复杂度均为O(n^2)，经过优化后，空间复杂度可为O(n)。

#include <stdio.h>
#include <string.h>

char s1[1000],s2[1000];
int x[1000][1000];   // 记录最长公共子序列 
int y[1000][1000];   // 记录路径 
int LCS()    
{
    int i,j;
    int l1 = strlen(s1);     // 计算字符串的长度 
    int l2 = strlen(s2);
    memset(x,0,sizeof(x));  // 初始化 过滤掉0的情况 
    memset(y,0,sizeof(y));
    
    for (i = 1; i <= l1; i ++)
    {
        for (j = 1; j <= l2; j ++)
        {
            if (s1[i-1] == s2[j-1])   // 相等的情况 
            {   // 字符数组是从0开始的 所以这里要减 1 
                x[i][j] = x[i-1][j-1]+1;
                y[i][j] = 1;          // 记录路径 
            }
            else if(x[i-1][j] >= x[i][j-1])    // 不相等的时候选择 比较“左边”和“上边”选择较大的 
            {
                x[i][j] = x[i-1][j];
                y[i][j] = 2;          // 记录路径 
            }
            else
            {
                x[i][j] = x[i][j-1];
                y[i][j] = 3;         // 记录路径 
            }
        }
    }
    return x[l1][l2];
}
void print_LCS(int i,int j)   // 根据标记路径的数组 输出最长公共子序列 
{
    if (i == 0 || j == 0)
        return ;
    if (y[i][j] == 1)      
    {
        print_LCS(i-1,j-1);
        printf("%c",s1[i-1]);
    }
    else if (y[i][j] == 2)  // 左边 
        print_LCS(i-1,j);
    else                    // 上边 
        print_LCS(i,j-1);
}