感觉这几个月做的数学都是把数学当工具的数学题，欧拉函数、莫比乌斯之类的好像上一次做还是在上一次 好几年前，于是在洛谷上找了几个专题来练一练。隔了感觉有两三年了，其实好多东西都忘差不多了。
（待更新）
零碎知识
一些可能会用到的零碎的知识点，最近做题遇上的。
- 对于实数(n,m,x)，有(egin{aligned}lfloor frac{lfloor n
floor+m}{x}
floor=lfloorfrac{n+m}{x}
floorend{aligned})，对于上取整同样成立。
- 因为是在复习就直接引入一个更强的命题了：对于(R)上连续且单调的函数(f(x))，如果有(f(x)in ightarrow xin )，那么就总有(egin{aligned}lfloor f(x) floor=lfloor f(lfloor x floor ) floorend{aligned})成立。
- ①若(xin )，则$x=lfloor x floor $，直接成立。
- ②否则，(x otin)，由单调性给出(f(x)> f(lfloor x floor))，加上取整：(lfloor f(x) floorgeqlfloor f(lfloor x floor ) floor)，假设它们不相等，即若(lfloor f(x) floor>lfloor f(lfloor x floor ) floor)，则(lfloor f(x) floor in(f(lfloor x floor ),f(x)])，接着连续函数介值定理告诉我们，存在(y:yin (lfloor x floor ,x],f(y)=lfloor f(x) floor)，但是因为(x otin)，((lfloor x floor ,x])里面是不存在整数的，矛盾，(Q.E.D.)
- 证明了这个更强的命题，上面那句话就只要让(f(n)=frac{n+m}{x})就行，不难验证函数满足我们要的性质。特别地，在做一些除法分块的时候，我们会用得上像是(egin{aligned}lfloor frac{lfloor frac{n}{d} floor}{x} floor=lfloorfrac{n}{dx} floorend{aligned})这样的结论，也可以从右往左，把一个东西凑成能分块的形式。
- 类似地让(f(n)=sqrt n)也满足性质，所以(egin{aligned}lfloor sqrt{ lfloor n floor } floor =lfloor sqrt {n} floor end{aligned})也是成立的。
- 上面所有证明把下取整改成上取整，同样成立。
- 约数个数函数(d(n)=sum_{d|n}1)，对于里面的乘积的(d(nm))，它可以被写成(egin{aligned}d(nm)=sum_{i|n}sum_{j|m}[(i,j)=1]end{aligned})。
- 里面那个([(i,j)=1])可以展成莫比乌斯。
- 里面的([(i,j)=1])是一个比写成1要更强的条件，它原本就是想统计(ij)有多少对，但如果直接写1，就可能把一个约数算了多次，比如(d(4 imes 6))这种，有(2|4,2|6)和(4|4,1|6)，4这个约数被算了好几次。
- 回顾(d(p_1^{q_1} p_2^{q_2}dots)=(q_1+1)(q_2+1)dots)这个式子，其实我们只要保证第(k)个质因数(p_k)被恰好枚举(q_k+1)次，所以我们干脆就让每一轮枚举的时候，保证对于每个(p_k)，(n)和(m)只有一个贡献了(p_k)，也就是((i,j)=1)这个条件。
感觉这个证明好无聊啊
欧拉函数和欧拉定理
因为是复习就不搞什么概念的引入了，数论里（英文里直接搜Euler function搜到的是欧拉的另一个函数，一般数论的欧拉函数叫Euler's totient function）我们定义欧拉函数(egin{aligned}varphi(n)end{aligned})表示(1,2,dots,n)这些数里和(n)互质的数的个数，一般写成(egin{aligned}varphi(n)=sum_{i=1}^n [(n,i)=1]end{aligned})这样子（后面会见到，写成这种艾佛森记号（也就是[表达式]这种记号）的形式可以用莫比乌斯函数搞一些操作啥的），这里我们说欧拉函数是个积性函数，即：(forall (n,m):f(n)f(m)=f(nm))。具体证明不写了，冲不动了。
算法竞赛里求值才是我们关心的，首先是一个比较显然的：如果(p)是质数，那样(varphi(p)=p-1)，进一步容易给出(varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-frac{1}{p}))，于是不难给出一般的求法(egin{aligned}varphi(n)=nprod_{p_i} (1-frac{1}{p_i})end{aligned})。
于是，积性能用来做线性筛，而要求单个欧拉函数，如果(n)不是很大，就直接用上面的式子，(O(sqrt n))地求出单个(varphi(n))，要更快的做法就是Pollard-Rho来做质因数分解。
接着从同余的角度看，(varphi(n))也可以说是(n)的既约剩余系的大小，于是$$egin{aligned}(a,m)=1 ightarrow a{varphi(m)}prod_{i=1}{varphi(m)} x_i=prod_{i=1}{varphi(m)}(ax_i)equivprod_{i=1}{varphi(m)}x_i(mod m)end{aligned}$$
也就得到了一般说的欧拉定理((a,m)=1,a^{varphi(m)}equiv 1(mod m))。
然后还有一个更强的扩展欧拉定理：
- 当(b<varphi(m))时，(egin{aligned}end{aligned})(egin{aligned}a^bequiv a^b(mod m)end{aligned})
- 否则，(bgeq varphi(m))时，$$egin{aligned}a^bequiv a^{b mod varphi(m)+varphi(m)}(mod m)end{aligned}$$。
注意(b<varphi(m))的时候不一定成立，这一版也是一个题比较麻烦的地方。
扩展欧拉定理主要还是用来处理比较大的指数(b)，以及注意到会把模(m)的问题转化为模(varphi(m))的问题，而(varphi(varphi(dots(m))))这种套娃下降的是非常快的，所以经常可以用来做一些套娃操作，比如luogu4139这题，求(egin{aligned}2^{2^{2^{dots}}}mod pend{aligned})的答案，设答案是(x)，就可以转化成(2^{xmod varphi(p)+varphi(p)}),一直迭代到(p=1)为止。
还有CF上一个题（https://www.luogu.com.cn/problem/CF906D ）也是用类似的性质。
卷积、莫比乌斯函数和莫比乌斯反演
冲不动了，懒得写了，有人看再更新。
一些练习
https://www.luogu.com.cn/problem/P2303 ，求(sum _{i=1}^n (i,n))的值，原式写成(sum_{i=1}^n sum_{d=1}^n[(i,n)=d])，这里上下界都是(n)，就不上莫比乌斯了，直接就能写成欧拉函数：(sum_{d=1}^n sum_{i=1}^n[(frac{i}{d},frac{n}{d})=1])，最后就是(sum_{d|n} varphi(frac{n}{d}))。
https://www.luogu.com.cn/problem/P3327 ，用到前面的结论，先写成(egin{aligned}sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m sum_{x|i} sum_{y|j}[(x,y)=1]end{aligned})，然后大胆地把后面的写成莫比乌斯([(x,y)=1]=sum_{d|(x,y)}mu (d))，原来的式子一通化简成(egin{aligned}sum_{d=1}^n mu (d)sum_{x=1}^{lfloor frac{n}{d} floor}lfloorfrac{n}{dx} floor sum_{y=1}^{lfloor frac{m}{d} floor }lfloor frac{m}{dy} floor end{aligned})，后面的取整就用到前面提到的性质，写成能除法分块的形式，然后(O(sqrt n))地解决。
https://www.luogu.com.cn/problem/P2257 ，和上一题类似，先改成枚举质数，然后上一个莫比乌斯，(egin{aligned}=sum_{pin mathcal{P}}sum_{d=1}^n mu(d)lfloor frac{n}{pd} floor lfloor frac{m}{pd} floor end{aligned})的形式，但写成这样还是不够快，这里我们做一个小小的变量替换，令(T=pd)，然后交换次序，(p)加上一个(p|T)的限制：(egin{aligned}sum_{T=1}^n lfloor frac{n}{T} floor lfloor frac{m}{T} floor sum_{pin mathcal{P},p|T} mu(frac{T}{p})end{aligned})。后面的式子可以(O(frac{n}{log n}log n)=O(n))地预处理出来，结合前缀和跟前面除法分块。