BZOJ 4408: [Fjoi 2016]神秘数

4408: [Fjoi 2016]神秘数

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Description

一个可重复数字集合S的神秘数定义为最小的不能被S的子集的和表示的正整数。例如S={1,1,1,4,13}，

1 = 1

2 = 1+1

3 = 1+1+1

4 = 4

5 = 4+1

6 = 4+1+1

7 = 4+1+1+1

8无法表示为集合S的子集的和，故集合S的神秘数为8。

现给定n个正整数a[1]..a[n]，m个询问，每次询问给定一个区间[l,r](l<=r)，求由a[l],a[l+1],…,a[r]所构成的可重复数字集合的神秘数。

Input

第一行一个整数n，表示数字个数。
第二行n个整数，从1编号。
第三行一个整数m，表示询问个数。
以下m行，每行一对整数l,r，表示一个询问。

Output

对于每个询问，输出一行对应的答案。

Sample Input

5
1 2 4 9 10
5
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5

Sample Output

2
4
8
8
8

HINT

对于100%的数据点，n,m <= 100000，∑a[i] <= 10^9

Source

鸣谢yyh上传

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福建自古出神题……

如果存在一个集合，使得$[1,x]$内的数字都能被表示，新加入一个数$y$，那么会出现如下两种情况：

　　1. $y leq x+1$，则新集合可以表示$[1,x+y]$内的所有数字。

　　2. $y gt x+1$，则新集合表示的区间会产生“断裂”，即$x+1$依旧无法被表示，所以该集合的神秘数还是$x+1$。

基于以上分析，产生下面的算法，用以求一个给定集合的神秘数：

首先设$ans=1$，作为最初假象的神秘数，然后求出

[get=sum_{a_{i} leq ans}a_{i}]

那么如果$get lt ans$，则$ans$就是神秘数，否则令$ans=get+1$，继续过程。

那么用可持久化线段树维护区间内权值范围和即可。

  1 #include <bits/stdc++.h>
  2 
  3 inline char Char(void)
  4 {
  5     static const int siz = 1 << 10;
  6     
  7     static char buf[siz];
  8     static char *hd = buf + siz;
  9     static char *tl = buf + siz;
 10     
 11     if (hd == tl)
 12         fread(hd = buf, 1, siz, stdin);
 13     
 14     return *hd++;
 15 }
 16 
 17 inline int Int(void)
 18 {
 19     int ret = 0, neg = 0, c = Char();
 20     
 21     for (; c < 48; c = Char())
 22         if (c == '-')neg ^= true;
 23         
 24     for (; c > 47; c = Char())
 25         ret = ret * 10 + c - '0';
 26         
 27     return neg ? -ret : ret;
 28 }
 29 
 30 const int mxn = 100005;
 31 const int siz = 5000005;
 32 
 33 int n, m, num[mxn], map[mxn], tot;
 34 
 35 int ls[siz], rs[siz], sm[siz], cnt, root[mxn];
 36 
 37 void insert(int &t, int f, int l, int r, int p, int v)
 38 {
 39     t = ++cnt;
 40     
 41     ls[t] = ls[f];
 42     rs[t] = rs[f];
 43     sm[t] = sm[f] + v;
 44     
 45     if (l != r)
 46     {
 47         int mid = (l + r) >> 1;
 48         
 49         if (p <= mid)
 50             insert(ls[t], ls[f], l, mid, p, v);
 51         else
 52             insert(rs[t], rs[f], mid + 1, r, p, v);
 53     }
 54 }
 55 
 56 int query(int a, int b, int l, int r, int lt, int rt)
 57 {
 58     if (l == lt && r == rt)
 59         return sm[a] - sm[b];
 60     
 61     int mid = (l + r) >> 1;
 62     
 63     if (rt <= mid)
 64         return query(ls[a], ls[b], l, mid, lt, rt);
 65     else if (lt > mid)
 66         return query(rs[a], rs[b], mid + 1, r, lt, rt);
 67     else
 68         return query(ls[a], ls[b], l, mid, lt, mid) + query(rs[a], rs[b], mid + 1, r, mid + 1, rt);
 69 }
 70 
 71 signed main(void)
 72 {
 73     n = Int();
 74     
 75     for (int i = 1; i <= n; ++i)
 76         num[i] = map[i] = Int();
 77         
 78     std::sort(map + 1, map + n + 1);
 79     
 80     tot = std::unique(map + 1, map + n + 1) - map;
 81     
 82     for (int i = 1; i <= n; ++i)
 83         num[i] = std::lower_bound(map + 1, map + tot, num[i]) - map,
 84         insert(root[i], root[i - 1], 1, tot, num[i], map[num[i]]);
 85     
 86     m = Int();
 87     
 88     for (int i = 1; i <= m; ++i)
 89     {
 90         int l = Int();
 91         int r = Int();
 92         
 93         int ans = 1, get, pos;
 94         
 95         while (true)
 96         {
 97             pos = std::upper_bound(map + 1, map + tot, ans) - map - 1;
 98             get = query(root[r], root[l - 1], 1, tot, 1, pos);
 99             if (get < ans)break;
100             else ans = get + 1;
101         }
102         
103         printf("%d
", ans);
104     }
105 }

@Author: YouSiki