问题：
求第N个回文数palindrome。
一个正数如果顺着和反过来都是一样的（如13431，反过来也是13431），就称为回文数。约束：
回文数不能以0开头。
回文数从1开始。
首先我们要写一个算法求回文数。刚开始我想到用用字符串来存储数，然后判断原序和逆序是否相等。
void func1(char a[]) { printf("%d",strlen(a)); char *p=a; char *q=a+strlen(a)-1; bool flag=true; while(q>p) { if(*q!=*p) { flag=false; break; } q--;p++; } if(flag) printf("%s 是回文数 ",a); else printf("%s 不是回文数 ",a); } int main() { char s[50]; while(scanf("%s",s)!=0) { printf("%d",strlen(s)); func1(s); }
注意，用strlen的时候只检测什么时候到‘ '位置，与sizeof无关，如果是sizeof的话char a[]做函数参数a会降级为指针。
虽然这样做可以，但还是有点小问题，如果输入010，输出回文。不满足回文的定义。
回文数不能以0开头。
一开始就思考使用循环：从1开始，判断该数是否是回文数，然后用一
个计数器记下回文数，一直到计数器得到N，返回第N个回文数。比较常用的是以下这种方法来判断是
否回文数：
static boolean isPN(int num) { int o = num; int tmp = 0; //使用循环把数字顺序反转 while(num != 0) { tmp *= 10; tmp += num % 10; num /= 10; } //如果原始数与反转后的数相等则返回true if(tmp == o) return true; return false; }
这种思路的确可得到正确结果，但随着用来测试的N的增大，效率的问题就浮现了。因为是一重
循环，效率是O（n）。所以当N非常大时，所花的时间还是十分大的。
另一种思路：
回文数的个数其实是有规律的。如：
1位回文数： 9个
2位回文数： 9个
3位回文数： 90个
4位回文数： 90个
5位回文数： 900个
6位回文数： 900个
…
我们看到9、90、900，是不是很有规律，那是什么原因？很简单，我们把回文数拆开两半
[123321]来看。两半的变化一样的，那我们只算其中一半就行了。首位不能是0，所以左半最小为
100，最大为999，共有999-100+1=900个，如此类推。
所以我们可以基于以下原则：
1、 回文数的数位每增长2，回文数的个数为原来的10倍。如从个位回文数到百位回文数，个数
从9个变为90个。
2、 个位回文数的个数是9，1、2、3、…、9。
总之理解原理后一切好办，步骤就偷懒不写了，看代码吧！
核心代码：
static long find(int index) { int count = 0; int number = 9; //记录数位上的回文数，如个位回文数为9 int w = 0; //记录数位 long half; //保存回文数的左半边的结果 long h = 1; //回文数的左半边的起始基数 long res; //结果 while(true) { if(w > 0 && w%2 == 0) { //每进两个数位，回文数乘以10 number *= 10; } w++; //数位加一 if(count + number > index) //回文数大于查找的回数,跳出 break; count += number; //回文数加上当前数位上的回文数 } index -= count; //在当前数位上的位置。如w=5,index=50,则万位上的第50个回文数是我们所求 for(int i = 0; i < (w-1) / 2; i++) { //求回文数的左半边的基数，如回文数在万位上，则为100 h *= 10; } half = h + index; //回文数的左半边，如100 + 50 = 150 res = half; if(w%2 != 0) //如果为奇数，则中间那个数不必算入右半边了！ half /=10; while(half != 0) { //拼接回文数 res = res *10 + half % 10; half /= 10; } return res; }
全部代码：
package com.icescut.classic.algorithm; //数位指个位，十位，百位，千位。。。 class PalindromicNumber { public static void main(String[] args) { int input = Integer.parseInt(args[0]); long res = find(input); System.out.println("res:" + res); } static long find(int index) { int count = 0; int number = 9; //记录数位上的回文数，如个位回文数为9 int w = 0; //记录数位 long half; //保存回文数的左半边的结果 long h = 1; //回文数的左半边的起始基数 long res; //结果 while(true) { if(w > 0 && w%2 == 0) { //每进两个数位，回文数乘以10 number *= 10; } w++; //数位加一 if(count + number > index) //回文数大于查找的回数,跳出 break; count += number; //回文数加上当前数位上的回文数 } index -= count; //在当前数位上的位置。如w=5,index=50,则万位上的第50个回文数是我们所求 for(int i = 0; i < (w-1) / 2; i++) { //求回文数的左半边的基数，如回文数在万位上，则为100 h *= 10; } half = h + index; //回文数的左半边，如100 + 50 = 150 res = half; if(w%2 != 0) //如果为奇数，则中间那个数不必算入右半边了！ half /=10; while(half != 0) { //拼接回文数 res = res *10 + half % 10; half /= 10; } return res; } }
说明：
因为按规律计算，效率为O（1），不论数量级多大，能马上得到结果（不发生溢出情况下）。对比循环判断回文数的方法，大大的改善了。
转自：http://www.cnblogs.com/icescut/archive/2009/11/09/PalindromicNumber.html
缺8数、回文数的秘密
人们把12345679叫做“缺8数”，这“缺8数”有许多让人惊讶的特点，比如用9的倍数与它相乘，乘积竟会是由同一个数组成，人们把这叫做“清一色”。比如：
12345679*9=111111111
12345679*18=222222222
12345679*27=333333333
……
12345679*81=999999999
这些都是9的1倍至9的9倍的。
还有99、108、117至171。最后，得出的答案是：
12345679*99=1222222221
12345679*108=1333333332
12345679*117=1444444443
。。。
12345679*171=2111111109
回文数
中文里,有回文诗句、对联,如:"灵山大佛,佛大山灵","客上天然居,居然天上客"等等,都是美妙的符合正念倒念都一样的回文句.
回文数则是有类似22、383、5445、12321,不论是从左向右顺读,还是从右向左倒读,结果都是一样的特征.许多数学家着迷于此。
回文数中存在无穷多个素数11，101，131，151，191……。除了11以外，所有回文素数的位数都是奇数。道理很简单：如果一个回文素数的位数是偶数，则它的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和必然相等；根据数的整除性理论，容易判断这样的数肯定能被11整除，所以它就不可能是素数。附整除原理11整除的特征。
能被11整除的数的特征
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.
例如:判断491678能不能被11整除.
—→奇位数字的和9+6+8=23
—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11
因此,491678能被11整除.
这种方法叫"奇偶位差法".
除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.
又如:判断583能不能被11整除.
用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.
）。
人们借助电子计算机发现，在完全平方数、完全立方数中的回文数，其比例要比一般自然数中回文数所占的比例大得多。例如11^2=121，22^2=484，7^3=343,11^3=1331……都是回文数。
人们迄今未能找到四次方、五次方，以及更高次幂的回文素数。于是数学家们猜想：不存在nk(k≥4;n、k均是自然数)形式的回文数。
在电子计算器的实践中，还发现了一桩趣事：任何一个自然数与它的倒序数相加，所得的和再与和的倒序数相加，……如此反复进行下去，经过有限次步骤后，最后必定能得到一个回文数。