转: 等概率随机函数的实现

题目：已知随机函数rand(),以p的概率产生0，以1-p的概率产生1，现在要求设计一个新的随机函数newRand(), 使其以1/n的等概率产生1~n之间的任意一个数。
解决思路：可以通过已知随机函数rand()产生等概率产生0和1的新随机函数Rand()，然后调用k（k为整数n的二进制表示的位数）次Rand()函数，得到一个长度为k的0和1序列，以此序列所形成的整数即为1--n之间的数字。注意：从产生序列得到的整数有可能大于n，如果大于n的话，则重新产生直至得到的整数不大于n。
第一步：由rand()函数产生Rand()函数，Rand()函数等概率产生0和1。

下面的这个难想到，用了2个rand（）函数来做。p*(1-p)想等。

      0         1

0   p^2     p(1-p)

1  p(1-p)  (1-p)^2

int Rand()
{
    int i1 = rand();
    int i2 = rand();
    if(i1==0 && i2==1)
        return 1;
    else if(i1==1 && i2==0)
        return 0;
    else
        return Rand();
    return -1;
}

第二步：计算整数n的二进制表示所拥有的位数k，k = 1 +log2n（log以2为底n）
第三步：调用ｋ次Rand()产生随机数。

int newRand()
{
    int result = 0;
    for(int i = 0 ; i < k ; ++i)
    {
        if(Rand() == 1)
            result |= (1<<i);
    }
    if(result > n)
        return newRand();
    return result;
}

题目：
给定一个函数rand5()，该函数可以随机生成1-5的整数，且生成概率一样。现要求使用该函数构造函数rand7()，使函数rand7()可以随机等概率的生成1-7的整数。
思路：
很多人的第一反应是利用rand5() + rand()%3来实现rand7()函数，这个方法确实可以产生1-7之间的随机数，但是仔细想想可以发现数字生成的概率是不相等的。rand()%3 产生0的概率是1/5，而产生1和2的概率都是2/5，所以这个方法产生6和7的概率大于产生5的概率。
正确的方法是利用rand5()函数生成1-25之间的数字，然后将其中的1-21映射成1-7，丢弃22-25。例如生成(1，1)，(1，2)，(1，3)，则看成rand7()中的1，如果出现剩下的4种，则丢弃重新生成。
简单实现：

int rand7()
{
    int x = 0;
    do
    {
        x = 5 * (rand5() - 1) + rand5();
    }while(x > 21);
    return 1 + x%7;
}

我的备注：
    这种思想是基于，rand()产生[0,N-1]，把rand()视为N进制的一位数产生器，那么可以使用rand()*N+rand()来产生2位的N进制数，以此类推，可以产生3位，4位，5位...的N进制数。这种按构造N进制数的方式生成的随机数，必定能保证随机，而相反，借助其他方式来使用rand()产生随机数(如 rand5() + rand()%3 )都是不能保证概率平均的。
    此题中N为5，因此可以使用rand5()*5+rand5()来产生2位的5进制数，范围就是1到25。再去掉22-25，剩余的除3，以此作为rand7()的产生器。

给定一个函数rand()能产生0到n-1之间的等概率随机数，问如何产生0到m-1之间等概率的随机数？

int random(int m , int n)
{
    int k = rand();
    int max = n-1;
    while(k < m)
    {
        k = k*n + rand();
        max = max*n + n-1;
    }
    return k/(max/n);
}

代码详细解释2：

http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7486704

如何产生如下概率的随机数？0出1次，1出现2次，2出现3次，n-1出现n次？

思想很难想到:

int random(int size)
{
    while(true)
    {
        int m = rand(size);
        int n = rand(size);
        if(m + n < size)
            return m+n;
    }
}

转自：http://blog.csdn.net/Hackbuteer1/article/details/7486748

不均匀硬币等概率问题：

一 利用不均匀硬币产生等概率

问题描述：有一枚不均匀的硬币，抛出此硬币后，可用foo()表示其结果。已知foo()能返回0和1两个值，其概率分别为0.6和0.4。问怎么利用foo()得到另一个函数，使得返回0和1的概率均为0.5。

问题分析：分析连续抛出两次硬币的情况，正反面的出现有四种情况，概率依次为：

(1) 两次均为正面：0.6*0.6=0.36

(2)第一次正面，第二次反面：0.6*0.4=0.24

(3)第一次反面，第二次正面：0.4*0.6=0.24

(4)两次均为反面：0.4*0.4=0.16

可以看到中间两种情况的概率是完全一样的，于是问题的解法就是连续抛两次硬币，如果两次得到的相同则重新抛两次；否则根据第一次（或第二次）的正面反面情况，就可以得到两个概率相等的事件。

int Coin()
{
    while(true)
    {
        int a = foo();
        if(a != foo())
        {
            return a;
        }
    }
}

二利用均匀硬币产生不等概率

问题描述：有一枚均匀的硬币，抛出此硬币后，可用foo()表示其结果。已知foo()能返回0和1两个值，其概率均为0.5。问怎么利用foo()得到另一个函数，使得返回0和1的概率分别为0.3和0.7。

问题分析：0和1随机生成，可以理解为二进制。可以令a=foo()*2^4+foo()*2^3+foo()*2^2+foo()*2^1+foo()等概率生成0-31的所有数，去掉30和31后，在0-29之间进行一个%3输出。

int generator()
{
    // 生成一个 0 - 31 之间的数字
    return a = fun() * 2^4 + fun() * 2^3 + fun() * 2^2 + fun() * 2^1 + fun();
}

int fun2()
{
    int a = generator();

        // 缩减到 0 - 29 的范围
    while(a == 30 || a == 31){
        a = generator();
    }
        // 3*1 - 3*9 共9个能被3 整除，返回0
    // 剩余30 -9 = 21 个不能被整除，返回1
    // 比例为9:21 = 3:7
    if(a != 0){
        int b = a % 3; // 3*1 - 3*9
        if(b == 0){
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}