NOI Online#3 解题报告

A 水壶

前缀和即可

B 魔法值

非正解：求图的循环节，然后直接数数数，就好了，有 (70pts)

我们发现这个题目写的运算：

[f_i=xor_ {(i,j)in E} f_j ]

这东西很像矩阵乘法对吧：

(A) 为 (1 imes n) 的 (f) 矩阵

(B) 为 图上的边的矩阵，(n imes n)

一次操作就是 (A imes B)

这里乘法变成异或运算就好了

但是考虑到原题中的数据范围很不友好，得预处理二进制优化

对应询问类快速幂求法即可

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
namespace yspm{
	inline int read()
	{
		int res=0,f=1; char k;
		while(!isdigit(k=getchar())) if(k=='-') f=-1;
		while(isdigit(k)) res=res*10+k-'0',k=getchar(); 
		return res*f;
	}
	const int N=210;
	int n,m,T,f[N],ans[N];
	struct mat{
		int a[N][N];
		int* operator[](int x){return a[x];}
		inline void clear(){return memset(a,0,sizeof(a)),void();}
	}g[N];
	inline mat mul(mat a,mat b)
	{
		mat res; res.clear();
		for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n;++j) for(int k=1;k<=n;++k) res[i][j]^=(a[i][k]&b[k][j]);
		return res;
	}
	inline void calc(int x)
	{
		int t[N]={0};
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			for(int j=1;j<=n;++j) if(g[x][i][j]) t[i]=t[i]^ans[j];
		} for(int i=1;i<=n;++i) ans[i]=t[i]; 
		return ;
	}
	signed main()
	{
		n=read(); m=read(); T=read();
		for(int i=1;i<=n;++i) f[i]=read();
		for(int i=1;i<=m;++i) 
		{
			int x=read(),y=read(); 
			g[0][y][x]=g[0][x][y]=1;
		}
		for(int i=1;i<=35;++i) g[i]=mul(g[i-1],g[i-1]);
		while(T--)
		{
			for(int i=1;i<=n;++i) ans[i]=f[i];
			int x=read(); 
			for(int i=0;i<=31;++i) if(x&(1<<i)) calc(i);
			cout<<ans[1]<<endl;
		}
		return 0;
	}
}
signed main(){return yspm::main();}

C 优秀子序列

莫名看了题不敢想系列

然后发现这题可以想……

把题转化成求 (or) 和为 (i) 的方案数，设为(f_i)，然后求个 (f_i imesvarphi(i))

先干点别的：把 (0) 处理掉，把数字桶排好，筛 (varphi)

然后我们把式子写写：(f_i=f_{i-x} imes app_x)

对于每个数字，我们枚举补集的子集就好了

又是个位运算 (dp)

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
namespace yspm{
	inline int read()
	{
		int res=0,f=1; char k;
		while(!isdigit(k=getchar())) if(k=='-') f=-1;
		while(isdigit(k)) res=res*10+k-'0',k=getchar();
		return res*f;
	}
	const int N=3e5+10,mod=1e9+7;
	int app[N],cnt,phi[N],pri[N],x,n,maxx,f[N],res,m;
	inline void prework()
	{
		phi[1]=1; 
		for(int i=2;i<N;++i)
		{
			if(!phi[i]) phi[i]=i-1,pri[++cnt]=i;
			for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;++j)
			{
				if(i%pri[j]) phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
				else{phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j]; break;}
			}
		} return ;
	} 
	inline int ksm(int x,int y)
	{
		int res=1; for(;y;y>>=1,(x*=x)%=mod) if(y&1) (res*=x)%=mod;
		return res;
	}
	signed main()
	{
		prework(); n=read(); for(int i=1;i<=n;++i) x=read(),app[x]++,maxx=max(maxx,x);
		f[0]=1; res=ksm(2,app[0]);
		n=1; while(n<=maxx) n<<=1; m=1;
		for(int i=1;i<=200000;++i) 
		{
			if(!app[i]) continue;
			m|=i; int s=m^i; 
			for(int t=s;;t=(t-1)&s)
			{
				f[i|t]=(f[i|t]+f[t]*app[i]%mod)%mod;
				if(!t) break;
			}
		}
		int ans=0;
		for(int i=0;i<n;++i) ans+=f[i]*phi[i+1]%mod,ans%=mod; 
		cout<<ans*res%mod<<endl; 
		return 0;
	}
}
signed main(){return yspm::main();}

总结

比赛写挂了 (B)

然后可能连成绩证明都没有了

以后可能得找点大数据拍一拍

对于某些奇妙性质的运算，要敏感一下呀！（比如矩阵乘法）

关于 (C) 找点枚举子集的题目看看吧