「考试总结2021-04-05」 线代

A. 环形划分

输出所有三个互不相同的 (i,j,k) 满足 (i<j<k,i+j+kequiv 0 mod n) 即可

如果一种边的两端标号 ((i,j)) 使得 (i+j+iequiv 0 mod n)，那么不会被输出

显然这样的边不会超过 (n-1) 个（枚举 (i)，同时 (n) 不合法）

所以这个做法是正确的

B. 最小表示

考虑 (SAM) 来维护这样的子串，最后还是len[i]-len[fa[i]] 来统计答案

对于题目中的最小表示的定义，显然在其当前第一次出现的时候会不一样

下述视角均为从后往前，也就是下一次为通常意义上的左边一次

那么我们考虑其上一次出现之后到其的位置，维护每个位置最后在 (SAM) 上出现的位置 (pos[i]) 和其下一次在原串中出现的位置 (dst[i])

每次扩展 (pos[i],dst[i]) ，注意只对当前点所对应的后缀自动机上的点的 (size) 加一

（要写那种广义自动机形式的东西）

最后遍历后缀树，对于有 (size) 大小的节点进行答案统计

后缀自动机上的节点不超过 (Theta(nm))，证明考虑每种字符向前统计不超过 (n) 次

C. 置换矩阵

每天感受多项式和线性代数水之深

首先环的个数大于 (1) 则行列式的值为 (0)，这个结论使用线性代数可以证明，但是我并不会证，貌似能打表

环的个数不大于 (1) 的部分考虑如下结论：

[ exttt{n 阶循环矩阵的行列式为}=prod_{j=0}^{n-1} A(omega^j) ]

其中 (A(x)=sum a_{i}x^i) ，(a_i) 表示第一行第 (i) 列的元素

构造向量 ([omega^0,omega^1cdots omega ^{n-1}]) 作为矩阵的特征值

那么把每一行计算出来，注意使用单位根的性质：(omega^{n-1} imes omega =1)

如果设 (lambda =A_{Line 1})，那么矩阵的值就是 (lambda) 的值

把单位根再拆（(omega=omega'^{k})），之后有 (lambda_k=a_0+a_1omega'^k+cdots omega^{'(n-1)k})

不难得到如果把 (lambda_k,kin [0,n-1]) 写成一个矩阵的形式，这个是一个 (Vandemonde) 矩阵，其行列式在组合数学里面写过了

[mathrm{Determine(B)}=prod_{1le i<jle n} (omega'^i-omega'^{j}) ]

显然这个矩阵的行列式不能为零，也就是 (lambda_k,kin [0,n-1]) 线性无关，所以矩阵 (A) 的行列式为

[mathrm{Determine(A)}=prod_{i=0}^{n-1}lambda_i ]

这里使用了特征值的性质 (prod lambda =mathrm{Determine}(A))，这个性质的证明并不会

最后把定义带入得证

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为了得到一个循环矩阵，首先用置换把它换成一个循环矩阵，也就是把置换环断开成链，放上元素，这里需要统计逆序对来判断正负号

然后考虑模意义下并不能搞单位根，但是我们可以多项式 (gcd)，也就是考虑 (omega_n^i) 是 (B(x)=x^n-1) 的根，同时 (lambda) 是多项式 (A(x)=a_0+a_1omega^k+cdots omega^{(n-1)k}) 的根

不难发现这个 (F(A,B)=b_m^nprod A(omega^i)) 是原答案

这个函数有些性质（下设 (B) 为 (m) 次，(A) 为 (n) 次）

[F(A,B)=(-1)^{nm}F(B,A) ]

[F(A,B)=a_n^mb_m^n[m=0 or n=0] ]

[F(A,B)=b_m^{deg(A)-deg(A-CB)}F(A-CB,B) ]

好像证明还可以，所以直接实现即可