最短路算法总结（*【模板】）

1.Dijkstra算法:（计算正权图上的单源最短路  single-source shortest paths (sssp) ）从单个节点出发到所有节点的最短路。复杂度：O(n*n)

该算法适用于：有向图和无向图。

1). O(n^2)的实现：邻接矩阵map存储实现，INF表示无穷大

void Dijkstra(int s, int e, int n) //从s开始到e点的最短路，有n个节点，编号：0-->n-1.
{
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    int i, j;
    for(i=0; i<n; i++)
        dis[i]=(i==0?0:INF);
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        int mm=INF;  int pos;
        for(j=0; j<n; j++)
        {
            if(!vis[j] && dis[j]<m)
                m=dis[pos=j];
        }
        vis[pos]=1;
        for(j=0; j<n; j++)
        {
            d[j]=min(dis[j], dis[pos]+map[pos][j] );
        }
    }
    printf("%d
", dis[e]); //假设最短路一定存在
}

 优化时间复杂度的dijkstra算法：

 代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 1000+1

using namespace std;
struct Edge
{
    int from, to, dis;
    Edge(int u, int v, int w):from(u), to(v), dis(w)
    {}
};

struct HeapNode
{
    int d, u;
    bool operator <(const HeapNode&x)const
    {
        return d>x.d;
    }
};
struct Dijkstra
{
    int n, m;
    vector<Edge>edges;
    vector<int>G[maxn];
    bool vis[maxn]; //是否已永久标记
    int dis[maxn]; //s到各个点的距离
    int p[maxn]; //最短路中的上一个弧

    void init(int n)
    {
        this->n=n;
        for(int i=0; i<n; i++)
            G[i].clear();
        edges.clear();
    }
    void Add_edge(int from ,int to, int dis)
    {
        edges.push_back(Edge(from, to, dis));
        m=edges.size();
        G[from].push_back(m-1);
    }
    void dijkstra(int s)
    {
        priority_queue<HeapNode>q;
        for(int i=0; i<n; i++)
            dis[i]=INF;
        dis[s]=0;
        memset(vis, false, sizeof(vis));
        q.push(HeapNode{0, s} );
        while(!q.empty())
        {
            HeapNode x=q.top(); q.pop();
            int u=x.u;
            if(vis[u])
                continue;
            vis[u]=true;
            for(int i=0; i<G[u].size(); i++)
            {
                Edge &e=edges[G[u][i]];
                if(dis[e.to]>dis[u]+e.dis )
                {
                    dis[e.to]=dis[u]+e.dis;
                    p[e.to]=G[u][i];
                    q.push((HeapNode){dis[e.to], e.to} );
                }
            }
        }
    }
};

转载：http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6791765

 2. Bellman-Ford算法总结：时间复杂度为：O(n*m)

Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。

这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。

适用条件&范围：

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

差分约束系统;

Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；

以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。 

测试代码如下：（下面为有向图的Bellman-Ford算法。。。。。）

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

#define MAX 0x3f3f3f3f
#define N 1010
int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点

typedef struct Edge //边
{
	int u, v;
	int cost;
}Edge;

Edge edge[N];
int dis[N], pre[N];

bool Bellman_Ford()
{
	for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化
		dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);
	for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)
		for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)
			if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）
			{
				dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;
				pre[edge[j].v] = edge[j].u;
			}
			bool flag = 1; //判断是否含有负权回路
			for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
				if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)
				{
					flag = 0;
					break;
				}
				return flag;
}

void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）
{
	while(root != pre[root]) //前驱
	{
		printf("%d-->", root);
		root = pre[root];
	}
	if(root == pre[root])
		printf("%d
", root);
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);
	pre[original] = original;
	for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
	{
		scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);
	}
	if(Bellman_Ford())
		for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路
		{
			printf("%d
", dis[i]);
			printf("Path:");
			print_path(i);
		}
	else
		printf("have negative circle
");
	return 0;
}

测试数据：

4 6 1
1 2 20
1 3 5
4 1 -200
2 4 4
4 2 4
3 4 2

和：

4 6 1
1 2 2
1 3 5
4 1 10
2 4 4
4 2 4
3 4 2

 Bellman-Ford算法的核心代码模板：

bool Bellman_Ford()  
{  
    for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化  
        dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);  
    for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)  
        for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)  
            if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）  
            {  
                dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;              }  
            bool flag = 1; //判断是否含有负权回路  
            for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)  
                if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)  
                {  
                    flag = 0;  
                    break;  
                }  
                return flag;  
}  

 样例题目：hihocoder 1081   ( n个点， m条边，起点s，终点是t，求s到t的最短距离？)

 代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define N 10000+5
#define INF 0x3f3f3f3f

struct Edge
{
    int u, v;
    int w;
}edge[N];
int n, m;

int dis[N];
int Bellman_Ford(int s, int e, int dd)
{
    int i, j;
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        dis[i]=(i==s?0:INF);
    }
    for(i=0; i<n-1; i++) //迭代n-1
    {
        for(j=0; j<dd; j++)
        {
            if( dis[ edge[j].v] > dis[edge[j].u]+edge[j].w )
                dis[ edge[j].v] = dis[edge[j].u]+edge[j].w; //路径松弛
        }
    }
    bool flag=true; //假设存在合法的最短路
    for(i=0; i<dd; i++)
    {
        if(dis[ edge[j].v] > dis[edge[j].u]+edge[j].w )//只有存在负环才会出现这种情况
        {
            flag=false; break;
        }
    }
    return flag;
}

int main()
{
    int s, t;
    scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &t);
    int a, b, c;
    int e=0;
    for(int i=0; i<m; i++)
    {
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &c );
        edge[e].u=a; edge[e].v=b; edge[e++].w=c;
        edge[e].v=a; edge[e].u=b; edge[e++].w=c; //建立无向图
    }
    if(Bellman_Ford(s, t, e)==true )
    {
        printf("%d
", dis[t] ); //输出起点到终点的最短距离
    }
    else
        printf("......
"); //如果不存在最短路就输出。。。。。。
    return 0;
}

Bellman_Ford算法还可统一用FIFO队列来处理，并且比较常用！

 SPFA算法（Bellman-ford的队列优化），只要最短路径存在，SPFA算法必能求出最小值。

题目：hihocoder http://hihocoder.com/problemset/problem/1093

样例输入

5 10 3 5
1 2 997
2 3 505
3 4 118
4 5 54
3 5 480
3 4 796
5 2 794
2 5 146
5 4 604
2 5 63

样例输出

172

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <ctype.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
#include <string>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;
int n, m, st, en;
struct node
{
    int v, w;
};
vector<node>q[100000+100];
int dis[100000+100];
bool vis[100000+100];

void SPFA()
{
    queue<int>que;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(int i=0; i<=n; i++)
        dis[i]=INF;
    dis[st]=0;
    que.push(st);
    while(!que.empty())
    {
        int cur=que.front(); que.pop();

        vis[cur]=1;
        int len=q[cur].size();
        for(int i=0; i<len; i++){
            int v=q[cur][i].v; //v是与之相连的点
            if(dis[v]>(dis[cur]+q[cur][i].w) ){//如果当前保存的到v点的距离 大于 从cur到v间接路径的距离
                dis[v] = dis[cur]+q[cur][i].w;//进行一次松弛
                if(!vis[v]){
                    que.push(v); vis[v]=1;//入队列标记访问
                }
            }
        }
        vis[cur]=0;//将该点的标记撤销
    }
}

int main()
{
    scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &st, &en);
    int u, v, w;
    node temp;
    for(int i=0; i<m; i++){
        scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
        temp.v=v; temp.w=w;
        q[u].push_back(temp);
        temp.v=u;
        q[v].push_back(temp);
    }//建立双向边
    SPFA();
    printf("%d
", dis[en]);
    return 0;
}

3. Floyd算法总结 ：O(n^3)  建议数据量大概在：200--400左右

   算法：如果要求出图中每两点之间的最短路，不必调用n次Dijkstra（边权均为正），或者Bellman_Ford算法（有负权）。有个更简单的算法可以实现---Floyd-Warshall算法

  代码：

for(i=0; i<n; i++)
{
    for(j=0; j<n; j++)
        dis[i][j]=(i==j?0:INF); //初始化：自己到自己的距离为0
}                              //自己到其它节点的距离为无穷大

for(k=0; k<n; k++)
{
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        for(j=0; j<n; j++)
            dis[i][j]=min(dis[i][j], dis[i][k]+dis[k][j] );
    }
}

 注意：这里会有一个潜在的问题：就是数据类型的溢出问题，如果INF定义太大，加法dis[i][k]+dis[k][j]可能会有溢出的危险。但是，如果定义太小则可能称为最短路的一部分。

 为此，估计一下最短路的实际长度上限，然后INF 设置成比它稍大一点的值。例如：最多有1000条边，边的权值最大不超过1000， 则可以定义INF=1000*1000+1

 但是还有更可靠的写法，代码：

for(k=0; k<n; k++)
{
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        for(j=0; j<n; j++)
            if(dis[i][k]<INF && dis[k][j]<INF )
            {
                dis[i][j]=min(dis[i][j], dis[i][k]+dis[k][j] );
            }
    }
}