关于数学

对于“同余方程”“扩展欧几里得”“贝祖定理”“乘法逆元”以及“费马小定理”

同余方程

只是一个方程，形如(a imes xequiv c pmod b)

扩展欧几里得

是求解形如 (a imes x+b imes y= gcd(a,b))的(x,y)的解

贝祖定理

对于数(a,b) 一定存在一对(x,y) 使得 (a imes x+b imes y=gcd(a,b))

乘法逆元

若(a imes x equiv 1 pmod b) 并且(a,b) 互质.我们就称(x) 为 (a) 在(pmod b)意义下的乘法逆元,记为(a^{-1})

费马小定理

若 (p) 是素数, (a) 是正整数,且(a,p) 互质

则(a^{p-1}equiv 1pmod p)

通俗的讲，扩展欧几里得是为了求解同余方程这种类型的题目而产生的，而贝祖定理（也叫裴蜀定理）证明了扩展欧几里得算法的正确性（证明其一定有解）

而乘法逆元是为了处理计算机不能很好的对除法进行运算，没法取倒数，而产生的一个新定义，在数学里面看起来就像是一个数的倒数，但是在计算机里面，这就是一个新定义，乘法逆元的符号就是(a^{-1})

并且求解乘法逆元用扩展欧几里得就好

即同余方程中 (c) 等于 (1) 的情况

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8.31 update:

求解乘法逆元较多的是快速幂与乘法逆元，其中快速幂必须保证a，p互质

//线性：
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < p; ++ i)
   inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
//快速幂
for (; b; b >>= 1)
{
   if (b & 1) res = res * a % mod;
   a = a * a % mod;
}
return res;


ksm(a, p-2, p);