P3200 [HNOI2009]有趣的数列

题目：P3200 [HNOI2009]有趣的数列

思路：

打表可以发现是裸的Catalan数，简单证明一下：
假设现在有两个vector s1、s2，s1依次存奇数位的数，s2存偶数位的数。
例如：s1里存的是1,2,5；s2里存的是3,4,6；表示的就是数列1,3,2,4,5,6。
根据题目要求，s1、s2都是递增的，并且最后s1、s2各存n个数。所以我们的操作就是把数字1~2n依次存入，每个数或存入s1尾部，或存入s2尾部。
现在考虑相邻奇数位大于偶数位的限制：在我们依次存的过程中，如果哪一时刻，s1中的数多于s2中的数则无解（可手动模拟），所以对于合法情况，满足任意时刻s1的size都小于等于s2的size。向s1尾部加入数看做向上走，向s2尾部加入数看做向右走，转化为Catalan数的网格图模型。
注意任意模数，可能没有逆元，所以可以分解质因数之后求解。

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Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e6+5;
int n,mod,tot,mindiv[N],cnt[N],p[N];
void Prime(){
	for(int i=2;i<=2*n;++i){
		if(!mindiv[i]) mindiv[i]=p[++tot]=i;
		for(int j=1;j<=tot;++j){
			if(i*p[j]>2*n||p[j]>mindiv[i]) break;
			mindiv[i*p[j]]=p[j];
		}
	}
}
void add(int num){
	while(num^1){
		++cnt[mindiv[num]];
		num/=mindiv[num];
	}
}
void del(int num){
	while(num^1){
		--cnt[mindiv[num]];
		num/=mindiv[num];
	}
}
ll quickpow(ll a,ll b,ll p){
	ll res=1;
	while(b){
		if(b&1) res=res*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return res%p;
}
ll Catalan(int n){
	for(int i=n+2;i<=2*n;++i) add(i);
	for(int i=1;i<=n;++i) del(i);
	ll res=1;
	for(int i=1;i<=tot;++i) res=res*quickpow(p[i],cnt[p[i]],mod)%mod;
	return res;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&mod);
	Prime();
	printf("%lld",Catalan(n));
	return 0;
}