梯度消失、梯度爆炸
深度模型有关数值稳定性的典型问题是消失（vanishing）和爆炸（explosion）。
当神经网络的层数较多时，模型的数值稳定性容易变差。
假设一个层数为(L)的多层感知机的第(l)层(oldsymbol{H}^{(l)})的权重参数为(oldsymbol{W}^{(l)})，输出层(oldsymbol{H}^{(L)})的权重参数为(oldsymbol{W}^{(L)})。为了便于讨论，不考虑偏差参数，且设所有隐藏层的激活函数为恒等映射（identity mapping）(phi(x) = x)。给定输入(oldsymbol{X})，多层感知机的第(l)层的输出(oldsymbol{H}^{(l)} = oldsymbol{X} oldsymbol{W}^{(1)} oldsymbol{W}^{(2)} ldots oldsymbol{W}^{(l)})。此时，如果层数(l)较大，(oldsymbol{H}^{(l)})的计算可能会出现衰减或爆炸。举个例子，假设输入和所有层的权重参数都是标量，如权重参数为0.2和5，多层感知机的第30层输出为输入(oldsymbol{X})分别与(0.2^{30} approx 1 imes 10^{-21})（消失）和(5^{30} approx 9 imes 10^{20})（爆炸）的乘积。当层数较多时，梯度的计算也容易出现消失或爆炸。
随机初始化模型参数
在神经网络中，通常需要随机初始化模型参数。下面我们通过多层感知机来解释这样做的原因。
为了方便解释，假设输出层只保留一个输出单元(o_1)（删去(o_2)和(o_3)以及指向它们的箭头），且隐藏层使用相同的激活函数。如果将每个隐藏单元的参数都初始化为相等的值，那么在正向传播时每个隐藏单元将根据相同的输入计算出相同的值，并传递至输出层。在反向传播中，每个隐藏单元的参数梯度值相等。因此，这些参数在使用基于梯度的优化算法迭代后值依然相等。之后的迭代也是如此。在这种情况下，无论隐藏单元有多少，隐藏层本质上只有1个隐藏单元在发挥作用。因此，我们通常将神经网络的模型参数，特别是权重参数，进行随机初始化。
PyTorch的默认随机初始化
随机初始化模型参数的方法有很多。PyTorch中nn.Module的模块参数都采取了较为合理的初始化策略（不同类型的layer具体采样的哪一种初始化方法的可参考源代码），因此一般不用我们考虑。
Xavier随机初始化
还有一种比较常用的随机初始化方法叫作Xavier随机初始化。
假设某全连接层的输入个数为(a)，输出个数为(b)，Xavier随机初始化将使该层中权重参数的每个元素都随机采样于均匀分布
它的设计主要考虑到，模型参数初始化后，每层输出的方差不该受该层输入个数影响，且每层梯度的方差也不该受该层输出个数影响。
考虑环境因素
协变量偏移
这里我们假设，虽然输入的分布可能随时间而改变，但是标记函数，即条件分布P（y∣x）不会改变。虽然这个问题容易理解，但在实践中也容易忽视。
想想区分猫和狗的一个例子。我们的训练数据使用的是猫和狗的真实的照片，但是在测试时，我们被要求对猫和狗的卡通图片进行分类。
| cat | cat | dog | dog |
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测试数据：
| cat | cat | dog | dog |
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显然，这不太可能奏效。训练集由照片组成，而测试集只包含卡通。在一个看起来与测试集有着本质不同的数据集上进行训练，而不考虑如何适应新的情况，这是不是一个好主意。不幸的是，这是一个非常常见的陷阱。
统计学家称这种协变量变化是因为问题的根源在于特征分布的变化（即协变量的变化）。数学上，我们可以说P（x）改变了，但P（y∣x）保持不变。尽管它的有用性并不局限于此，当我们认为x导致y时，协变量移位通常是正确的假设。
标签偏移
当我们认为导致偏移的是标签P（y）上的边缘分布的变化，但类条件分布是不变的P（x∣y）时，就会出现相反的问题。当我们认为y导致x时，标签偏移是一个合理的假设。例如，通常我们希望根据其表现来预测诊断结果。在这种情况下，我们认为诊断引起的表现，即疾病引起的症状。有时标签偏移和协变量移位假设可以同时成立。例如，当真正的标签函数是确定的和不变的，那么协变量偏移将始终保持，包括如果标签偏移也保持。有趣的是，当我们期望标签偏移和协变量偏移保持时，使用来自标签偏移假设的方法通常是有利的。这是因为这些方法倾向于操作看起来像标签的对象，这（在深度学习中）与处理看起来像输入的对象（在深度学习中）相比相对容易一些。
病因（要预测的诊断结果）导致 症状（观察到的结果）。
训练数据集，数据很少只包含流感p(y)的样本。
而测试数据集有流感p(y)和流感q(y)，其中不变的是流感症状p(x|y)。
概念偏移
另一个相关的问题出现在概念转换中，即标签本身的定义发生变化的情况。这听起来很奇怪，毕竟猫就是猫。的确，猫的定义可能不会改变，但我们能不能对软饮料也这么说呢？事实证明，如果我们周游美国，按地理位置转移数据来源，我们会发现，即使是如图所示的这个简单术语的定义也会发生相当大的概念转变。
如果我们要建立一个机器翻译系统，分布P（y∣x）可能因我们的位置而异。这个问题很难发现。另一个可取之处是P（y∣x）通常只是逐渐变化。