高斯消元
(右下角的)三个初等行列变换.
高斯消元解线性方程组
题目
输入一个包含n个方程n个未知数的线性方程组。
方程组中的系数为实数。
求解这个方程组。
下图为一个包含m个方程n个未知数的线性方程组示例：
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含n+1个实数，表示一个方程的n个系数以及等号右侧的常数。
输出格式
如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共n行，其中第i行输出第i个未知数的解，结果保留两位小数。
如果给定线性方程组存在无数解，则输出“Infinite group solutions”。
如果给定线性方程组无解，则输出“No solution”。
数据范围
1≤n≤100,
所有输入系数以及常数均保留两位小数，绝对值均不超过100。
输入样例：
3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00
输出样例：
1.00
-2.00
3.00
思路
解多元线性方程组
解有三种情况：1、无解 2、无穷多组解3、唯一解
int gauss()
{
int c, r;//列，行
for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )//从列开始枚举，找到每一列的绝对值最大的数所在的那一行
{
int t = r;
for (int i = r; i < n; i ++ )
if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
t = i;//用t记录是哪一行
if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;
//如果是0的话说明这一位的x不会有解，跳过
//浮点数不能直接判断是不是0，因为会有误差。所以我们认为，当一个浮点数小于一个很小的数的时候是0
for (int i = c; i < n + 1; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);//将所找到的那一行换到r上来
for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];
//将该行从c开始到n全部除以a[r][c]（因为前面的那些数在前面的操作里已经变成0了）
for (int i = r + 1; i < n; i ++ )//把下面所有行的对应列的值变成0（消元）
if (fabs(a[i][c]) > eps)//只有不是0的时候才操作
for (int j = n; j >= c; j -- )//这里枚举的是列
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
//a[i][j]是被操作的这个位置，a[r][j]是作为系数的（也就是当前最上面的）那一行的第j位，a[i][c]是这一行的对应的那一列
r ++ ;
}
if (r < n) //这时说明有一行左边全是0，那么要是右边不是0就无解，否则就有无穷组解
{
for (int i = r; i < n; i ++ )
if (fabs(a[i][n]) > eps)//如果出现了本该是0的数不是0的情况
return 2;//无解
return 1;//否则就是有解
}
//如果前两个情况都不是，那么就有唯一解。那么就要从后往前推，推算答案
for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];
return 0;//有唯一解
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < n + 1; j ++ )
cin >> a[i][j];
int t = gauss();
if (t == 0)//这是有唯一解的情况
for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%.2lf
", a[i][n]);
else if (t == 1) puts("Infinite group solutions");//这是有无穷组解得情况
else puts("No solution");//这是没有解得情况
return 0;
}
调试版：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
const double eps = 1e-6;
int n;
double a[N][N];
void out(){
for(int i = 0; i < n; i ++){
for(int j = 0 ; j <= n; j ++){
printf("%10.2lf", a[i][j]);
}
puts("");
}
puts("");
}
int gauss()
{
int c, r;//列，行
for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )//从列开始枚举，找到每一列的绝对值最大的数所在的那一行
{
int t = r;
for (int i = r; i < n; i ++ )
if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
t = i;//用t记录是哪一行
if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;
//如果是0的话说明这一位的x不会有解，跳过
//浮点数不能直接判断是不是0，因为会有误差。所以我们认为，当一个浮点数小于一个很小的数的时候是0
for (int i = c; i < n + 1; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);//将所找到的那一行换到r上来
out();
for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];
//将该行从c开始到n全部除以a[r][c]（因为前面的那些数在前面的操作里已经变成0了）
out();
for (int i = r + 1; i < n; i ++ )//把下面所有行的对应列的值变成0（消元）
if (fabs(a[i][c]) > eps)//只有不是0的时候才操作
for (int j = n; j >= c; j -- )//这里枚举的是列
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
/*a[i][j]是被操作的这个位置，a[r][j]是作为系数的（也就是当前最上面的）那一行的第j位
，a[i][c]是这一行的对应的那一列
*/
r ++ ;
}
out();
if (r < n) //这时说明有一行左边全是0，那么要是右边不是0就无解，否则就有无穷组解
{
for (int i = r; i < n; i ++ )
if (fabs(a[i][n]) > eps)//如果出现了本该是0的数不是0的情况
return 2;//无解
return 1;//否则就是有解
}
//如果前两个情况都不是，那么就有唯一解。那么就要从后往前推，推算答案
for (int i = n - 1; i >= 0; i -- ){//从最后一行往前推
for (int j = i + 1; j < n; j ++ ){//从现在的这一行往后推
a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];
// out();
}
// out();
}
return 0;
}
int main()
{
freopen("in.txt","r",stdin);
freopen("out1.txt","w",stdout);
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < n + 1; j ++ )
cin >> a[i][j];
out();
int t = gauss();
if (t == 0)//这是有唯一解的情况
for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%.2lf
", a[i][n]);
else if (t == 1) puts("Infinite group solutions");//这是有无穷组解得情况
else puts("No solution");//这是没有解得情况
return 0;
}
答案
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
const double eps = 1e-6;
int n;
double a[N][N];
int g(){
int c, r;
for(c = 0, r = 0; c < n; c ++){
int t = r;
for(int i = r; i < n; i ++)
if(fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
t = i;
if(fabs(a[t][c]) < eps) continue;
for(int i = c; i < n + 1; i ++) swap(a[t][i], a[r][i]);
for(int i = n; i >= c; i --) a[r][i] /= a[r][c];
for(int i = r + 1; i < n; i ++)
if(fabs(a[i][c]) > eps)
for(int j = n; j >= c; j --)
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
r ++;
}
if(r < n){
for(int i = r; i < n; i ++)
if(fabs(a[i][n]) > eps)
return 2;
return 1;
}
for(int i = n - 1; i >= 0; i --)
for(int j = i + 1; j < n; j ++)
a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];
return 0;
}
int main(){
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; i ++)
for(int j = 0; j < n + 1; j ++)
cin >> a[i][j];
int t = g();
if(t == 0)
for(int i = 0; i < n; i ++){
printf("%.2lf
", a[i][n]);
}
else if (t ==1 )
cout << "Infinite group solutions";
else cout << "No solution";
return 0;
}
高斯消元解异或线性方程组
题目
输入一个包含n个方程n个未知数的异或线性方程组。
方程组中的系数和常数为0或1，每个未知数的取值也为0或1。
求解这个方程组。
异或线性方程组示例如下：
M[1][1]x[1] ^ M[1][2]x[2] ^ … ^ M[1][n]x[n] = B[1]
M[2][1]x[1] ^ M[2][2]x[2] ^ … ^ M[2][n]x[n] = B[2]
…
M[n][1]x[1] ^ M[n][2]x[2] ^ … ^ M[n][n]x[n] = B[n]
其中“^”表示异或(XOR)，M[i][j]表示第i个式子中x[j]的系数，B[i]是第i个方程右端的常数，取值均为0或1。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含n+1个整数0或1，表示一个方程的n个系数以及等号右侧的常数。
输出格式
如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共n行，其中第i行输出第i个未知数的解。
如果给定线性方程组存在多组解，则输出“Multiple sets of solutions”。
如果给定线性方程组无解，则输出“No solution”。
数据范围
1≤n≤100
输入样例：
3
1 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
输出样例：
1
0
0
思路
异或：不进位的加法
答案
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int a[N][N];
int n;
int g(){
int c, r;
for(c = 0, r = 0; c < n; c ++){
int t = r;
for(int i = r; i < n; i ++)
if(a[i][c])
t = i;
if(!a[t][c]) continue;
for(int i = c; i <= n; i ++)
swap(a[r][i], a[t][i]);
for(int i = r + 1; i < n; i ++)
if(a[i][c])
for(int j = n; j >= c; j --)
a[i][j] ^= a[r][j];
r ++;
}
if(r < n){
for(int i = r; i < n; i ++)
if(a[i][n])
return 2;
return 1;
}
for(int i = n - 1; i >= 0; i --)
for(int j = i + 1; j < n; j ++)
a[i][n] ^= a[i][j] &a[j][n];
return 0;
}
int main(){
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; i ++){
for(int j = 0; j <= n; j ++)
cin >> a[i][j];
}
int t = g();
if(!t)
for(int i = 0; i < n; i ++)
cout << a[i][n] << endl;
else if(t == 1) cout << "Multiple sets of solutions";
else cout << "No solution";
return 0;
}