树状数组是一种数据结构，支持一些区间操作，比线段树好写，同样也比线段树的功能少一些。
先来看一张图（摘自百度百科）
树状数组就是这个样子的，但是树状数组的空间复杂度是O(n)的，它不像线段树那样每个节点的信息都上传的父亲去保存，他是由某一位来保存前一段区间的信息，比如说和。那么是哪一位又是保存多长的区间那？这就到了数状数组的主角lowbit上场了，lowbit是一个很简单又很复杂的东西，说它简单是因为写起来非常的简单，说它复杂是因为理解起来比较麻烦，lowbit（x）的功能是求出来x的二进制中最后一个1是多少，举个例子lowbit（7）=1，因为7的二进制是111，它的最后一个1是1，而lowbit（6）=2，因为6的二进制是110，它的最后一个1是2.
有的讲树状数组的是把lowbit的原理讲了一遍的，个人感觉没用其实是窝不会，只需要记得lowbit(x)的求法是x&(-x)就好了，然后树状数组的第i位记录的就是从i-lowbit(i)+1开始到i这一段的信息，也就是从i往前lowbit（i）那么长，总之这样沿着lowbit就可以做到不重不漏了。
树状数组最基本的操作就是点修改区间查询，点修改区间查询和区间修改点查询。
1.点修改区间查询
点修改不只是要修改一个点，还要把记录了这个点的信息的那些点也修改了，这时还是要沿着lowbit走，当前点不断的加lowbit，每次到的点都修改一下，而区间查询就更容易了，如果查询区间是[l,r]，那么久查询一下[1,r]，在查询一下[1,l-1]然后相减久ok了，然后查询就是沿着lowbit减，把每一位的数加起来，好比查询[1,7],就查7，[5,6],[1,4]就可以了。
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1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 using namespace std; 4 const int maxn=10002; 5 int n,m; 6 int tree[maxn]; 7 int x,y,opt; 8 int lowbit(int x) 9 { 10 return x&(-x); 11 } 12 void add(int x,int y) 13 { 14 for(int i=x;i<=10000;i+=lowbit(x)) 15 tree[i]+=y; 16 } 17 int query(int x) 18 { 19 int ans=0; 20 for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i)) 21 ans+=tree[i]; 22 return ans; 23 } 24 int main() 25 { 26 scanf("%d%d",&n,&m);//n个数，m个操作 27 for(int i=1;i<=n;++i) 28 { 29 scanf("%d",&x); 30 add(i,x); 31 } 32 while(m--) 33 { 34 scanf("%d",&opt); 35 if(opt==1) 36 { 37 scanf("%d%d",&x,&y); 38 add(x,y); 39 } 40 else 41 { 42 scanf("%d%d",&x,&y); 43 printf("%d ",query(y)-query(x-1)); 44 } 45 } 46 return 0; 47 }
2.区间修改点查询
用一个差分的思想转变成点修改区间查询。也就是把每一个数和前面的数做一下差，然后把这个新的数组放入树状数组中，这样区间修改就是在l那里加一下 ，在r+1那里减一下，而点查询则变成了查询[1,x]。
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int maxn=500005; template<typename T>void read(T &a) { int f=1,x=0; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) { if(ch=='-')f=0;ch=getchar(); } while(isdigit(ch)) { x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar(); } a=f?x:-x; } int n,m; int tree[maxn]; int a[maxn]; int opt,x,y,k; int lowbit(int x) { return x&(-x); } void add(int x,int y) { for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))tree[i]+=y; } int ans; int query(int x) { int ans=0; for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ans+=tree[i]; return ans; } int main() { read(n),read(m); for(int i=1;i<=n;++i) read(a[i]); for(int i=1;i<=n;++i) add(i,a[i]-a[i-1]);//要注意这里是后一个－前一个，而不是从第一个开始连环减，每一个数代表的都是当前数减前一位数，从1累加才是当前数值 // for(int i=1;i<=n;++i)cout<<tree[i]<<endl; // cout<<"KKKKK"<<endl; while(m--) { read(opt); if(opt==1) { read(x),read(y),read(k); add(x,k),add(y+1,-k); } else{ read(x); printf("%d ",query(x)); } } return 0; }
树状数组还有很多其他应用，比如cdq的时候用。还有二维树状数组，不过窝太弱了，不会这些qwq