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  • 【高数竞赛准备】多元函数微分学

    先祭出神图

    个人理解,函数z=f(x,y)在xoy面上确定了一个投影区域D。{(x,y)|(x,y)属于D}也就是说求偏导数时,x和y的取值区间有联系。以对x求偏导为例,,也就是说求导时,虽然求导时把y看作参数,但带入点时可取D中任一元素。如果区域D内存在一点,使得在这点偏导数无定义(一般初等函数,非分段函数,在某点有定义,在某点处就可以求左右导数)使得在这点左右偏导数不相等,那么函数在D上偏导数就不存在。形象地说,就是这个三维平面在那点不光滑。。。。

      类比一元函数,原函数在定义区间连续时,在某点处左导数不等于右导数时,函数不可导。也就是函数的变化率在该点发生了突变,一般有定义的不可导点都是存在于分段函数中的。所以函数在定义区间内可导,导数在定义区间内也一定连续。

    (p.s之前去问老师一道证明题把我说晕了,认为函数可导,导函数不一定连续。。。)

    而函数f(x,y)连续,并不一定在对x求偏导处的x对任一定义域内的y都满足。

    1.偏导数理解:函数f(x,y)沿着平行于x轴平行于y轴两个特殊方位变动时,f(x,y)的变化率。

    偏导数的表示符号为:∂。

    偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。
    2.偏导数可微的理解:
    引出一道题
     注意可微的定义存在实数A,B使得Δz=AΔx+BΔy+o((x2 +y2)1/2),然后如果偏导存在又可微的情况下,.
    又证实了函数可微和函数可导并没有直接关系,倒是函数可微函数一定连续。毕竟AΔx+BΔy这部分为零了,后面又是高阶无穷小,Δz被AΔx+BΔy线性逼近,就趋近零了,于是我们的函数就连续了。
     
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