【离散数学2】代数系统趣题

说题之前先说一下比较基础的一个问题吧。

1. Φ&{Φ}：前者是什么都没有，后者是有一个集合什么都没有。故Φ+{Φ}={Φ}，{Φ}-Φ={Φ}：
2. 空集Φ的后继集υ生成自然数集合

1.对群G的运算封闭但不是子群的例子

//好心在知道上答个题被百度说违规我也是呵呵了

《离散数学》p195 定理5-4.7 设<G,*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一个有限集，那么，只要运算*在B上封闭，

<B,*>必定是<G,*>的子群。
=============================

只要限制B是有限集，因为证明用到鸽巢原理。
=============================
至于对群G的运算封闭但不是子群的例子，若G是有限群则不存在。
只讨论G是无限群，B是无限群的情况。
B是无限群时，若没有幺元或逆元，只满足封闭性，那么就不是G的子群。
（B是有限群的时候，我们通过鸽巢原理得到幺元，再由幺元得到逆元。)
也就是说B是一个无限集合，<B,*>是半群或独异点（因为G是群，故B也具有结合性）的时候

就是满足对群G的运算封闭但不是子群的例子。
比如说 G为<I,+> B为<N,+>

2.陪集拉格朗日题型

1. aH=bH||aH∩bH=Φ

3.sylow定理衍生题型

1. 质数阶的群都是循环群

p^m 阶群必有p阶子群

4.循环群

1. 循环群的子群都是循环群
2. 无限循环群的子群都是无限循环群

5.子群的证明

1