排序:归并排序与逆序对
一、概念
归并排序(MERGE-SORT)是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法(Divide and Conquer)的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并,得到完全有序的序列;即先使每个子序列有序,再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表,称为二路归并。
时间复杂度:O(nlogn)
二、算法描述
三、逆序对
逆序对问题设 A 为一个有 n 个数字的有序集 (n>1),其中所有数字各不相同。如果存在正整数 i, j 使得 1 ≤ i < j ≤ n 而且 A[i] > A[j],则 A[i], A[j]这个有序对称为 A 的一个逆序对,也称作逆序数。
例如,数组(3,1,4,5,2)的逆序对有(3,1),(3,2),(4,2),(5,2),共4个。
四、归并排序与逆序对
因为在排序的合并过程中是将两组有序数进行比较,所以根据逆序对的定义,在数组下标 i 小于 j 时,如果有 a[i] 大于 a[j] 就可以知道下标 i 后面所有数都与 a[j] 构成逆序数,只需添加一句求和语句即可求出逆序数了;
例题 POJ1804 Brainman
解题思路
最简单的关于逆序对的题目,题目大意是给出一个序列,求最少移动多少步能使它顺序,规定只能相邻移动。
相邻移动的话,假设a,b 相邻,若a<b 交换会增加逆序数,所以最好不要做此交换;若a==b 交换无意义,也不要进行此交换;a>b时,交换会减少逆序,使序列更顺序,所以做交换。
由上可知,所谓的移动只有一种情况,即a>b,且一次移动的结果是逆序减1。假设初始逆序是n,每次移动减1,那么就需要n次移动时序列变为顺序。所以题目转化为直接求序列的逆序便可以了。
AC代码
#include<cstdio> int a[1005];//存储数串的数组 int t[1005];//排好序的数组 int ans;//逆序对数 void merge(int l, int m, int r)//因为起点和终点不变,所以用i,j来表示可变的下标 { int k = l, i = l, j = m + 1; while (i <= m && j <= r)//分解数组的首元素进行比较,两个数组分别为[l,m][m+1,r] { if (a[i] > a[j])//构成逆序对 { t[k++] = a[j++];//将较小的元素加入排序后的数组,并移动到下一元素 ans = ans + m - i + 1;//从i到middle的值都大于a[j],所以逆序对增加m-i+1 } else { t[k++] = a[i++]; } } while (i <= m) t[k++] = a[i++];//若左边还有剩下的 while (j <= r) t[k++] = a[j++]; for (i = l; i <= r; i++)a[i] = t[i];//更新原数组为合并后的数组 } void mergeSort(int l,int r)//归排 { if (l < r)//递归终止条件 { int m = (l + r) / 2; mergeSort(l, m); mergeSort(m + 1, r);//此时已经通过递归全部拆分 merge(l, m, r);//从单元素开始合并 } } int main() { int T, n, cnt = 1; scanf("%d", &T); while (T--) { ans = 0; scanf("%d", &n); for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]); mergeSort(0, n - 1); printf("Scenario #%d: ", cnt++); printf("%d ", ans); } return 0; }
例题 POJ2299 Ultra-QuickSort
解题思路
简单直接的归并排序求逆序数,和上一题一模一样。难点是n < 500000,所以答案用int32会WA,要用int64,用long long int也可以,取值范围一样的,printf函数对应I64d和lld。
AC代码
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> const int N = 500500; int a[N]; int t[N]; __int64 ans; void merge(int l, int m, int r) { int k = l, i = l, j = m + 1; while (i <= m && j <= r) { if (a[i] > a[j]) { t[k++] = a[j++]; ans += m - i + 1; } else { t[k++] = a[i++]; } } while (i <= m)t[k++] = a[i++]; while (j <= r)t[k++] = a[j++]; for (int i = l; i <= r; i++)a[i] = t[i]; } void mergeSort(int l, int r) { int m = (l + r) / 2; if (l < r) { mergeSort(l, m); mergeSort(m + 1, r); merge(l, m, r); } } int main() { int n; scanf("%d", &n); while (n != 0) { ans = 0; for (int i = 0; i < n; i++)scanf("%d", &a[i]); mergeSort(0, n-1); printf("%I64d ", ans); scanf("%d", &n); } return 0; }