POJ-动态规划-背包问题模板

背包问题模板

一、0-1背包

状态：背包容量为j时，求前i个物品所能达到最大价值，设为dp[i][j]。初始时，dp[0][j](0<=j<=V)为0，没有物品也就没有价值。

状态转移方程：由上述分析，第i个物品的体积为w,价值为v，则状态转移方程为

• j<w，dp[i][j] = dp[i-1][j] //背包装不下该物品，最大价值不变
• j>=w, dp[i][j] = max{ dp[i-1][j-list[i].w] + v, dp[i-1][j] } //和不放入该物品时同样达到该体积的最大价值比较

结构体：存放物品的体积和价值

struct Thing
{
    int w;
    int v;
}list[101];

1.init()：dp[][]数组初始化

int s, n;//背包容量和物品总数
void init()
{
    for (int i = 0; i <= s; i++) dp[0][i] = 0;//没有物品时最大价值均为0
}

2.package()：执行背包，求解问题

void package()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)//循环每个物品，执行状态转移方程
    {
        for (int j = 0; j <= s; j++)
        {
            if (j >= list[i].w) dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - list[i].w] + list[i].v);
            else dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
}

优化后的一维01背包

1.init()：dp[][]数组初始化

int s, n;//背包容量和物品总数
void init()
{
    for (int i = 0; i <= s; i++) dp[i] = 0;//初始化二维数组//没有物品时最大价值均为0
}

2.package()：执行背包，求解问题

void package()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)//循环每个物品，逆序遍历j执行状态转移方程
    {
        for (int j = s; j >= list[i].w; j--)
        {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - list[i].w] + list[i].v);
        }
    }
}

二、完全背包

1.init()：dp[][]数组初始化

void init()
{
    for (int i = 0; i <= s; i++) dp[i] = 0;//初始化二维数组//没有物品时最大价值均为0
}

2.package()：执行背包，求解问题，正序遍历即可实现复用。

void package()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)//循环每个物品，正序遍历j执行状态转移方程
    {
        for (int j = list[i].w; j <= s; j++)
        {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - list[i].w] + list[i].v);
        }
    }
}