欧几里德及扩展欧几里德——详解

欧几里德定理：

　　对于整数a, b来说有，gcd (a, b) == gcd (b, a%b) == d，又称为辗转相除法。

欧几里德证明：

　　先进行设定：x, y, t, k 为整数，并且有d*x == a, d*y == b. t = a - b. k = a / b。

　　那么t = d*x - d*k*y; t = d * (x - k * y); 故 t % d == 0;

　　所以gcd (b, t) == d == gcd (b, a%b) == gcd (a, b);

　　证毕。

欧几里德应用：

　　用来求a，b的最大公约数。

代码实现：

int gcd (int a, int b)
{
    return b ? gcd (b, a % b) : a;
}

扩展欧几里德定理：

　　对于不完全为零的非负整数a, b。必定存在整数x, y，满足a*x + b*y == gcd (a, b) == b;

扩展欧几里德证明：

　　A.  我们知道对于gcd (a, 0) == a, 那么 a*x + b*y == a, 可以解出x = 1, y = 0。

　　B. 对于a, b都不等于零的情况来说：

　　　　a*x1 + b*y1 = gcd (a, b);

　　　　b*x2 + (a%b)*y2 = gcd (b, a%b);

　　　　欧几里德告诉我们gcd (a, b) == gcd (b, a%b), 那么我们对上面两个式子进行转化：

　　　　a*x1 + b*y1 == b*x2 + (a%b)*y2;

　　　　b*x2 + (a%b)*y2 == b*x2 + (a - a/b*b)*y2 == b*x2 + a*y2 - a/b*b*y2 == a*y2 + b*(x2 - a/b*y2)

　　　　得出：a*y2 + b*(x2 - a/b*y2) = a*x1 + b*y1，在根据恒等定理可以等到：x1 == y2, y1 == x2 - a/b*y2;

　　　　可以看出，x1, y2是基于x2,y2的。那么我们一次一次向下取余的话，根据基本欧几里德定理可知，总会有一次b == 0的。那么x1, y1 就肯定有解咯！

扩展欧几里德应用：

　　1：求解一元线性同余方程，如解决中国剩余定理问题。

　　2：求解不定方程，比如说对于：a*x + b*y = c, 如果c % gcd (a, b) == 0, 则对于x, y有解，否则无解。

　　　　那么问题来了，有解的话要怎么求解呢？

　　　　已知扩展欧几里德定理，我们可以求出x0, y0满足：a*x0 + b*y0 == gcd (a, b)

　　　　那么对于a*x1 + b*y1 == c来说，x1 = x0 * c / gcd (a, b), y1 = y0 *c / gcd (a, b);

　　　　对于x, y对应的解集就是：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x = x1 + b / gcd (a, b) * t;

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y = y1 - a / gcd (a, b) * t;(t是任意的自然数)

扩展欧几里德实现：

LL Extended_Euclid (LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{//处理 a * b > 0 的情况
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }

    LL r = Extended_Euclid (b, a%b, x, y), t;
    t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return r;
}

当a, b不同号的话，上面的推论就有一点问题了，在用恒等定理的时候x, y 也应该换号

LL Extended_Euclid (LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{//可以处理所有的情况
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }

    LL r = Extended_Euclid (b, a%b, x, y), t;
    t = x;
    if (a * b < 0)
    {
        x = -y;
        y = a / b * y - t;
    }
    else
    {
        x = y;
        y = t - a / b * y;
    }
    return r;
}