青蛙跳台阶问题

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问题：

一只青蛙要跳上n层高的台阶，一次能跳一层，也可以调两层，问这只青蛙有多少种跳上这个台阶的方法？

思路1：

递归

设青蛙跳上n级台阶有f(n)种方法，把这n种方法分为两大类，第一类最后一次跳了一层台阶，这类方法有f(n-1)种，第二类最后一次跳了两层台阶

这类方法有发f(n-2)种，则得出递归公式f(n)=f(n-1)+f(n-2)，并且f(1)=1,f(2)=2。

这个方法代码简单，但是效率很低。

代码实现：

def climbStairs1(n:int)->int:
    if n==1 or n==2:
        return n
    else:
        return climbStairs1(n-1)+climbStairs1(n-2)

思路2：

用循环来代替递归

def climbStairs2(n:int)->int:
    if n==1 or n==2:
        return n
    a=1;b=2;c=3
    for i in range(3,n+1):
        c=a+b
        a=b
        b=c
    return c

思路3：

建立数学模型，利用组合数公式

设青蛙跳上n层台阶一共跳了z次，其中x次是一次跳了一层，y次是一次跳了两层，则有z=x+y , 2x+y=n，对于固定的x,利用组合可求出跳上n级台阶的方法共有

多少种方法，因为x 取值范围为[0,n/2],因此只需要遍历这个区间的所有整数，求出每个x对应的组合数累加到最后的结果就可以了。

def climbStairs3(n:int)->int:
    def fact(n):
        result=1
        for i in range(1,n+1):
            result*=i
        return result
    
    total=0
    for x in range(n//2+1):
        total+=fact(x+n-2*x)/fact(x)/fact(n-2*x)
    return total