一、前置技能
> Tarjan求割点
> 高中数学选修2-1 命题与逻辑关系（好像是这个名字）
> 莓了
（本文用&&表示与 || 表示或 !x表示x的否命题 与正常的数学符号不同食用请注意）
二、k-SAT
> Q: 为什么讲2-SAT之前要先讲k-SAT？
因为k-SAT被证明是NP-完全问题
所以暴搜就不去管它……
> Q: 所以什么是“SAT”？
由美国大学委员会主办的一场考试
SAT被称为布尔方程的可满足性问题
就是判断一组逻辑关系同时满足的正确性……
比如a&&(!a) 就不满足
再比如a&&b||c&&!d&&(.....)
我们给一种特殊的布尔方程起一个名字叫 合取范式
就是形如（a || !b || c) && (d || e) && (...)
其中每个bool变量叫 文字 打了括号的部分就叫 子句
如果每个子句大小不超过k那么就叫 k-SAT
同理 如果合取范式的每个子句中的文字个数都不超过两个，那么对应的 SAT 问题又称为 2-SAT 问题。
三、解法
考虑一个二分图 左边表示bool变量值为0（伪） 右边表示值为1（真）
如果满足一个命题必然能推出另一个命题 那么就在这两个命题之间连一条边
考虑两个bool变量之间的关系无非是 && 和 ||
由于我们是2-SAT 所以最多出现a || b两个变量
那么转化为蕴含（推出）关系
由 || 运算的定义
!a => b 且 !b => a
然后是 &&
!a => a 且 !b => b
> Q: 这……bool变量还能同时满足真和伪？
当然不是 这里的推出 可以理解为如果选择了a为伪，那么最后会推出a为真
所以我们最后选择的时候不能选择a为伪 只能选择a为真 达到了我们的目的
> Q: 好吧……可是，为什么要这么建图？
我们考虑bool运算的性质
命题成立则它的逆否命题成立 这个性质又叫 对称性
同时考虑推出的 传递性 ，如果b是由某一个变量推知为真 和它为真的效果是一样的 都能推知下一步的变量
所以拆完真伪最终在一个强连通分量里的点的bool值相同（注意并不是变量的bool值相同）
同时上一个Q表示建图可以处理单个变量定值的问题
> Q:嗯……如何求出最终答案呢？
我们对于最后建好的图跑一个Tarjan缩点 如果变量的真值和伪值在同一个强连通分量里（即既不能为真也不能为伪）那么就无解
否则 每个点的答案应该是真值和伪值中拓扑序靠后的那个（同第一个Q）
（所以要缩点）
然后由于我们跑tarjan的时候 就是拓扑序靠后的强连通分量编号小
所以就不用建新图辣
四、代码
Code:(luogu P4782)
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #include<cmath> 5 #define itn int 6 #define ms(a,b) memset(a,b,sizeof a) 7 #define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++) 8 #define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--) 9 using namespace std; 10 typedef long long ll; 11 ll read() { 12 ll as = 0,fu = 1; 13 char c = getchar(); 14 while(c < '0' || c > '9') { 15 if(c == '-') fu = -1; 16 c = getchar(); 17 } 18 while(c >= '0' && c <= '9') { 19 as = as * 10 + c - '0'; 20 c = getchar(); 21 } 22 return as * fu; 23 } 24 const int N = 2000005; 25 //head 26 int n,m; 27 int head[N],nxt[N<<1],mo[N<<1],cnt = -1; 28 bool flag[N]; 29 void add(itn x,int y) { 30 mo[++cnt] = y; 31 nxt[cnt] = head[x]; 32 head[x] = cnt; 33 } 34 int rev(int x) {return x>n?x-n:x+n;} 35 36 int dfn[N],low[N],col[N],stk[N]; 37 int scc,idx,top; 38 bool ins[N]; 39 void tarjan(int x) { 40 dfn[x] = low[x] = ++idx; 41 stk[++top] = x,ins[x] = 1; 42 for(int i = head[x];i;i = nxt[i]) { 43 int sn = mo[i]; 44 if(!dfn[sn]) { 45 tarjan(sn); 46 low[x] = min(low[x],low[sn]); 47 } else if(ins[sn]) low[x] = min(low[x],dfn[sn]); 48 } 49 if(dfn[x] == low[x]) { 50 int t = -1; 51 scc++; 52 while(t!=x) { 53 t = stk[top--]; 54 col[t] = scc; 55 ins[t] = 0; 56 } 57 } 58 } 59 60 int main() { 61 n = read(); 62 m = read(); 63 rep(i,1,m) { 64 int x = read();x += read()*n; 65 int y = read();y += read()*n; 66 add(rev(x),y),add(rev(y),x); 67 } 68 rep(i,1,n<<1) if(!dfn[i]) tarjan(i); 69 bool flag = 1; 70 rep(i,1,n) if(col[i] == col[n+i]) flag = 0; 71 if(!flag) puts("IMPOSSIBLE"); 72 else { 73 puts("POSSIBLE"); 74 rep(i,1,n) printf("%d ",col[i] > col[i+n]); 75 puts(""); 76 } 77 return 0; 78 }
注意:
1.跑的时候依然像Tarjan一样考虑多个联通块
2.本题全部是或的关系 注意反向建图
3.最后比较的时候每个人写法不一样要考虑大于还是小于
例题详见Practice 1
By prophetB