欧几里得算法和扩展欧几里得算法

欧几里得算法

作用：

计算两个数的最大公约数。

算法：

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

用gcd(a, b)表示a和b的最大公约数。

gcd函数的基本性质：gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)=gcd(a,b-a)

C实现：

typedef long long int64;
 
int64 gcd(int64 a, int64 b)
{
     return b == 0 ? a : gcd(b, a% b);
}

typedef long long int64;

int64 gcd(int64 a, int64 b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a% b);
}

 

扩展欧几里得算法

作用：

计算两个数a, b的最大公约数的同时，求出两个整数x, y使得a*x + b*y = gcd(a, b)，且|x| + |y|取得最小值。

算法：

用以下过程进行模拟：

用类似辗转相除法，求二元一次不定方程47x+30y=1的整数解。

• 47=30*1+17
• 30=17*1+13
• 17=13*1+4
• 13=4*3+1

然后把它们改写成“余数等于”的形式

• 17=47*1+30*(-1) //式1
• 13=30*1+17*(-1) //式2
• 4=17*1+13*(-1) //式3
• 1=13*1+4*(-3)

然后把它们“倒回去”

• 1=13*1+4*(-3) //应用式3
• 1=13*1+[17*1+13*(-1)]*(-3)
• 1=13*4+17*(-3) //应用式2
• 1=[30*1+17*(-1)]*4+17*(-3)
• 1=30*4+17*(-7) //应用式1
• 1=30*4+[47*1+30*(-1)]*(-7)
• 1=30*11+47*(-7)

得解x=-7, y=11

C实现：

typedef long long int64;
 
void ext_gcd(int64 a, int64 b, int64& d, int64& x, int64& y)
{
    if (!b) d = a, x = 1, y = 0;
    else{
        ext_gcd (b, a%b, d, y, x);
        y -= x * (a / b);
     }
}

typedef long long int64;

void ext_gcd(int64 a, int64 b, int64& d, int64& x, int64& y)
{
    if (!b) d = a, x = 1, y = 0;
    else{
        ext_gcd (b, a%b, d, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}