多元线性回归

一般情况下，一个因变量是和多个自变量有关的，比如一个商品的价格和原料价格、加工方法、上市时间、品牌价值等有关，也就是多元线性，本节介绍如何用scikit-learn解决多元线性回归问题。

1、多元线性回归模型

方程：Y=Xβ 

求解多元线性回归问题就是求解β：

因为X不一定是方阵，所以不能直接β=X-1Y

两边同时乘以Xt，得到XtY=XtXβ

因为XtX是方阵，它的逆是(XtX)-1，所以两边同时乘(XtX)-1得到

(XtX)-1XtY=β

根据这个公式，我们自己设计一个例子，验证一下

设计二元一次方程：y=1+2*x1+3*x2=1*x0+2*x1+3*x2

取样本为(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1)，计算得y=(6,9,8)

注意：这里面常数项1相当于1*x0，只不过这里的x0永远取1

所以我们的

X = [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1]]

y = [[6],[9],[8]]

β =[1, 2, 3]^T;

代码如下:

from numpy.linalg import inv
from numpy import dot, transpose
X = [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1]]
y = [[6], [9], [8]]
print dot(inv(dot(transpose(X),X)), dot(transpose(X),y))
print(dot(dot(inv(dot(transpose(X), X)), transpose(X)), y))

[[ 1.]
 [ 2.]
 [ 3.]]
[[ 1.]
 [ 2.]
 [ 3.]]

这里面transpose是求转置，dot是求矩阵乘积，inv是求矩阵的逆。

也可以用numpy的最小二乘函数直接计算出β。

from numpy.linalg import lstsq
print lstsq(X, y)[0]

[[ 1.]
 [ 2.]
 [ 3.]]

2、用scikit-learn求解多元线性回归

import numpy
from sklearn.linear_model import LinearRegression
X = [[1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 2, 1]]
y = [[6], [9], [8]]
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)#训练模型
x2 = [[1, 3, 5]]
y2 = model.predict(x2)
print(type(y2), y2.shape)
print(y2[0])

结果：

(<type 'numpy.ndarray'>, (1, 1))
[ 22.]

 正好：刚好y=1+2*x1+3*x2=1+2*3+3*5=22