题目大意
(t)组询问, 每组询问给定(n)，求(sum_{k=1}^n[n,k])，其中([a,b])表示(a)和(b)的最小公倍数 .
(tleq 300000,nleq 1000000)
题解
[egin{align}
sum_{k=1}^n[k,n]&=nsum_{k=1}^nfrac{k}{(k,n)}\
&=nsum_{p|n}frac{1}{p}sum_{k=1}^nk[(k,n)=p]\
&=nsum_{p|n}sum_{k=1}^{lfloorfrac{n}{p}
floor}k[(k,frac{n}{p})=1]\
&=nsum_{p|n}frac{frac{n}{p}phi(frac{n}{p})+[frac{n}{p}=1]}{2}\
&=nsum_{p|n}frac{pphi(p)+[p=1]}{2}
end{align}
]
用线性筛或者其他方法处理出(phi)函数，调和级数的复杂度预处理，每次查表。或者枚举因子。
时间复杂度：(O(nlog n))或(O(n+tsqrt{n}))
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
int miu[1000010];
int phi[1000010];
int p[1000010];
int b[1000010];
ll e[1000010];
ll f[1000010];
int cnt;
int maxn=1000000;
map<int,ll> d;
void init()
{
memset(b,0,sizeof b);
int i,j;
cnt=0;
for(i=2;i<=maxn;i++)
{
if(!b[i])
{
p[++cnt]=i;
miu[i]=-1;
phi[i]=i-1;
}
for(j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=maxn;j++)
{
b[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0)
{
miu[i*p[j]]=0;
phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
break;
}
miu[i*p[j]]=-miu[i];
phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
}
}
e[1]=1;
for(i=2;i<=maxn;i++)
e[i]=(ll(i)*phi[i])/2;
for(i=1;i<=maxn;i++)
for(j=i;j<=maxn;j+=i)
f[j]+=e[i];
}
void solve()
{
int n;
scanf("%d",&n);
printf("%lld
",f[n]*n);
}
int main()
{
// freopen("a.in","r",stdin);
// freopen("a.out","w",stdout);
init();
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
solve();
return 0;
}