题目描述
有(n)只兔子站在数轴上。为了方便，将这些兔子标号为(1ldots n)。第(i)只兔子的初始位置为(a_i)。
现在这些兔子会按照下面的规则做若干套体操。每一套体操由(m)次跳跃组成；在第(j)次跳跃的时候，第(c_j(2≤c_j≤n−1))只兔子会等概率随机选择第(c_j−1)或(c_j+1)只兔子中的一只（不妨设选择了第(x)只兔子），然后跳当前位置到关于第(x)只兔子对称的点。
这些兔子会按顺序做(k)套相同的体操。现在请你求出，每一只兔子做完(k)套体操之后最终位置坐标的期望值。
(n,mleq 100000,kleq {10}^{18})
题解
每次操作(a_x=frac{1}{2}(2a_{x-1}-a_x)+frac{1}{2}(2a_{x+1}-a_x)=a_{x-1}+a_{x+1}-a_x)
可以发现这是一个线性变换，可以直接计算。
那么有什么规律吗？
假设有三个数(a_1,a_2,a_3)，(c_1=2)。
变换后会得到(a_1,a_1+a_3-a_2,a_3)。
我们差分一下：
[egin{align}
a_1,a_2,a_3&
ightarrow a_1,a_2-a_1,a_3-a_2\
a_1,a_1+a_3-a_2,a_3&
ightarrow a_1,a_3-a_2,a_2-a_1
end{align}
]
相当于把(a_{c_1},a_{c_1+1})交换了一下。
所以可以直接把(m)次操作看成(m)个交换，做完这些操作看成(1)到(n)的置换。把整个置换拆成很多个轮换，直接在每个轮换上面走(k)步就行了。
时间复杂度：(O(n+m))
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
ll a[100010];
int c[100010];
int b[100010];
int d[100010];
ll ans[100010];
int main()
{
#ifdef DEBUG
freopen("b.in","r",stdin);
freopen("b.out","w",stdout);
#endif
int n;
scanf("%d",&n);
int i;
ll sum=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
a[i]-=sum;
sum+=a[i];
c[i]=i;
}
int m;
ll k;
scanf("%d%lld",&m,&k);
int x;
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&x);
swap(c[x],c[x+1]);
}
for(i=1;i<=n;i++)
if(!b[i])
{
int cnt=0;
int j;
for(j=i;!b[j];j=c[j])
{
b[j]=1;
d[++cnt]=j;
}
for(j=1;j<=cnt;j++)
ans[d[j]]=a[d[(j+k-1)%cnt+1]];
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
ans[i]+=ans[i-1];
printf("%lld.0
",ans[i]);
}
return 0;
}