题目描述
有 (n) 堆石子，每堆石子的个数是 (c_i)。
Alice 和 Bob 轮流取石子（先后手未定），Alice 每次从一堆中取 (a) 个，Bob每次从一堆中取 (b) 个。无法操作者输。
你要选定若干堆石子（共 (2^n)）种情况，问你所有情况中：Alice 必胜的方案数；Bob 必胜的方案数；先手必胜的方案数；后手必胜的方案数。
对 ({10}^9+7) 取模。
(nleq 100000)
题解
要把每堆石子个数对 (a+b) 取模。
为什么可以取模呢？
首先这是一个零和博弈。
如果 (c_igeq a+b)，那么一个人操作后：如果局面对另一个人更优，那么这个人就不会这么操作。否则另一个人可以取一次这堆石子，把局面变回来。
把这 (n) 堆按石子个数分成 (4) 类：
1.(c_i<a)
2.(aleq c_i<b)
3.(bleq c_i<2a)
4.(c_igeq 2a)
容易发现：
第一类是没有用的。
如果有第二类，那么 (a) 必胜。
如果第四类石子堆的个数 (geq 2)，那么 (a) 必胜。
如果第四类石子堆的个数 (=1) 且 第三类石子堆的个数为奇数，则 (a) 必胜。
如果第四类石子堆的个数 (=1) 且 第三类石子堆的个数为偶数，则先手必胜。
如果第四类石子堆的个数 (=0) 且 第三类石子堆的个数为奇数，则先手必胜。
如果第四类石子堆的个数 (=0) 且 第三类石子堆的个数为偶数，则后手必胜。
每一类的方案数是 (2) 的幂乘上一些组合数。
时间复杂度：(O(n))
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const ll p=1000000007;
ll fp(ll a,ll b)
{
ll s=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
if(b&1)
s=s*a%p;
return s;
}
int a[100010];
int A,B,n;
int cnt1,cnt2,cnt3,cnt4;
ll ans1,ans2,ans3,ans4;
ll inv[100010];
ll fac[100010];
ll ifac[100010];
ll binom(int x,int y)
{
return x>=y&&y>=0?fac[x]*ifac[y]%p*ifac[x-y]%p:0;
}
int main()
{
open("a");
scanf("%d",&n);
inv[1]=fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
inv[i]=-p/i*inv[p%i]%p;
fac[i]=fac[i-1]*i%p;
ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%p;
}
int flag=0;
scanf("%d%d",&A,&B);
if(A>B)
{
swap(A,B);
flag=1;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
a[i]%=(A+B);
if(a[i]<A)
cnt1++;
else if(a[i]<B)
cnt2++;
else if(a[i]<2*A)
cnt3++;
else
cnt4++;
}
ans1=(ans1+(fp(2,cnt2)-1)*fp(2,cnt3+cnt4))%p;
ans1=(ans1+(fp(2,cnt4)-cnt4-1)*fp(2,cnt3))%p;
ans3=(ans3+cnt4*(cnt3?fp(2,cnt3-1):1))%p;
ans1=(ans1+cnt4*(cnt3?fp(2,cnt3-1):0))%p;
ans4=(ans4+(cnt3?fp(2,cnt3-1):1))%p;
ans3=(ans3+(cnt3?fp(2,cnt3-1):0))%p;
ans1=ans1*fp(2,cnt1)%p;
ans2=ans2*fp(2,cnt1)%p;
ans3=ans3*fp(2,cnt1)%p;
ans4=ans4*fp(2,cnt1)%p;
if(flag)
swap(ans1,ans2);
ans1=(ans1+p)%p;
ans2=(ans2+p)%p;
ans3=(ans3+p)%p;
ans4=(ans4+p)%p;
printf("%lld %lld %lld %lld
",ans1,ans2,ans3,ans4);
return 0;
}