动态规划之LeetCode第72题(编辑距离)

　　首先先学习一个经典的算法吧，就是和本题一模一样的“编辑距离算法”。编辑距离，Minimum Edit Distance，简称MED，是俄罗斯科学家 Vladimir Levenshtein 在1965年提出，也因此而得名 Levenshtein Distance。用来度量两个序列相似程度的指标。通俗地来讲，编辑距离指的是在两个单词<w1,w2>之间，由其中一个单词w1转换为另一个单词w2所需要的最少单字符编辑操作次数。其中，单字符编辑操作有且仅有三种：

　　1.插入

　　2.删除

　　3.替换

　　关于这个算法，还有一个比较正规的数学形式定义：

　　我们将两个字符串a,b的 Levenshtein Distance 表示为 lev_a,b(|a|,|b|)，其中|a|和 |b|分别对应a,b 的长度。那么，在这里两个字符串 a,b的 Levenshtein Distance，

即lev_a,b(|a|,|b|)可用如下的数学语言描述：

　　

• 定义 指的是 中前 个字符和 中前 个字符之间的距离。为了方便理解，这里的可以看作是的长度。这里的字符串的第一个字符 index 从 1 开始（实际因为在表上运算的时候字符串前需要补 0），因此最后的编辑距离便是 时的距离：
• 当 的时候，对应着字符串 中前 个字符和 字符串 中前 个字符，此时的 有一个值为 0 ，表示字符串 a 和 b 中有一个为空串，那么从 a 转换到 b 只需要进行次单字符编辑操作即可，所以它们之间的编辑距离为 ，即 中的最大者。
• 当  的时候， 为如下三种情况的最小值：
  1. 表示 删除 
  2. 表示 插入 
  3. 表示 替换 
•  为一个指示函数，表示当  的时候取 0 ;当  的时候，其值为 1。

题目：给定两个单词 word1 和 word2，计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。你可以对一个单词进行如下三种操作：

　　1.插入一个字符
　　2.删除一个字符
　　3.替换一个字符

分析：根据上面的“编辑距离算法”我们自然而然的就会想到使用动态规划来解决这个题目，

　　1.定义一个数组二维dp,dp[i][j]表示字符串word1中前i个字符和word2中前j个字符之间的距离，此处的i、j可以看作word1和word2的这两个字符串的长度；

　　2.根据上面的算法，我们可以得出dp的元素之间的关系式，即：

　　　　if min(i,j) ==0, 那么 dp[i][j] = max(i,j);

　　　　if min(i,j) != 0,那么

　　　　　　　　if word1[i] == word2[j],那么dp[i][j] = min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1])

　　　　　　　　if word1[i] != word2[j],那么dp[i][j] = min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1]+1)

最终，dp[|word1|][|word|2]即为所求的最小值。

    public int minDistance(String word1, String word2) {
        if (Math.min(word1.length(),word2.length())==0)
            return Math.max(word1.length(),word2.length());
        int m = word1.length();
        int n = word2.length();
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            dp[0][j] = j;
        }
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1;j <= n;j ++){
                if (word1.charAt(i-1) == word2.charAt(j-1)){
                    dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1),dp[i-1][j-1]);
                }else {
                    dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1),dp[i-1][j-1]+1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }

题目来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance

编译距离算法参考自：
链接：https://www.jianshu.com/p/a617d20162cf