最短路问题 以hdu1874为例

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hdu 1874比较基础，拿来练各种刚学会的算法比较好，可以避免好多陷阱，典型的最短路模板题
 

第一种解法：Floyd算法

 算法实现：
使用一个邻接矩阵存储边权值，两两之间能访问的必为一个有限的数，不能访问则为无穷大（用2^29代替）。注意自身和自身距离为0。
对于一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个断点 w 使得从 u 经过 w 到 v 比已知的路径更短（包含原始输入中从 u 直接到 v 的路程）。
对所有顶点进行如上松弛操作，得到的结果是两点之间的最短路程，也可判断两点是否连通。
算法缺点：

普通的Floyd算法时间复杂度为O(n^3)，对于数据较多的情况容易TLE。但解决本题 HDU 1874 完全足够。

#include"stdio.h"
#define Max 0xfffffff
int n,m,map[201][201];
int min(int x,int y)
{
	return x>y?y:x;
}
void getmap()
{
	int a,b,i,j,l;
	for(i=0;i<n;i++)
		for(j=0;j<n;j++)
			map[i][j]=(i==j?0:Max);
	for(i=0;i<m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&l);
		map[a][b]=map[b][a]=min(map[a][b],l);
	}
}
void floyd(int s,int e)
{
	int i,j,k;
	for(k=0;k<n;k++)
		for(i=0;i<n;i++)
			for(j=0;j<n;j++)
				map[i][j]=min(map[i][j],map[i][k]+map[k][j]);
			printf("%d\n",map[s][e]<Max?map[s][e]:-1);
}
int main()
{
	int s,e;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
	{
		getmap();
		scanf("%d%d",&s,&e);
		floyd(s,e);
	}
	return 0;
}

第二种解法：Dijkstra算法

 
这个算法比较经典，一般的最短路径都可以用这个来解决，耗时也比较少，不过不能处理负权路径
按路径长度递增次序产生最短路径算法：
　　把V分成两组：
　　（1）S：已求出最短路径的顶点的集合
　　（2）V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合
　　将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，
　　保证：（1）从源点V0到S中各顶点的最短路径长度都不大于
　　从V0到T中任何顶点的最短路径长度
　　（2）每个顶点对应一个距离值
　　S中顶点：从V0到此顶点的最短路径长度
　　T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间
　　顶点的最短路径长度
　　依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的
　　直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和
　　（反证法可证）
　　求最短路径步骤
　　算法步骤如下：
　　1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值
　　若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值
　　若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∝
　　2. 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中，加入S
　　3. 对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的
　　距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值
　　重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即S=T为止

#include"stdio.h"
#include"string.h"
#define INF 999999
int map[201][201],mark[201];
int n,m,s,e,f[201];
void dijkstra()
{
	int i,j,k,min;
	memset(mark,0,sizeof(mark));
	for(i=0;i<n;i++)
		f[i]=map[s][i];
	f[s]=0;
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		min=INF;
		for(j=0;j<n;j++)
		{
			if(!mark[j]&&min>f[j])
			{
				k=j;
				min=f[j];
			}
		}
		if(min==INF)break;
		mark[k]=1;
		for(j=0;j<n;j++)
			if(!mark[j]&&f[j]>f[k]+map[k][j])
			f[j]=map[k][j]+f[k];
	}
	if(f[e]!=INF) printf("%d\n",f[e]);
	else printf("-1\n");
}

int main()
{
	int a,b,l,i,j;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
	{
		for(i=0;i<n;i++)
			for(j=0;j<n;j++)
				map[i][j]=INF;
		for(i=0;i<m;i++)
		{
			scanf("%d%d%d",&a,&b,&l);
			if(map[a][b]>l)
			map[a][b]=map[b][a]=l;
		}
		scanf("%d%d",&s,&e);
		dijkstra();
	}
	return 0;
}

第三种解法：Bellman_Ford算法

这个算法也比较好理解，就是不断松弛操作，处理含有负权的路径
对有向图G(V,E)，用贝尔曼-福特算法求以Vs为源点的最短路径的过程：
建立dist[]、Pred[],且dist[s] = 0,其余赋无穷。Pred[]表示某节点路径上的父节点
对（Vi，Vj）属于E，比较dist[Vi] + (Vi,Vj)和dist[Vj],并将小的赋给dist[Vj]，如果修改了dist[V_j]则pred[Vj] = Vi（松弛操作）
重复以上操作V ? 1次

再重复操作一次，如dist[Vj] > dist[Vi] + (Vi,Vj),则此图存在负权环。

#include<stdio.h>
#define MAX 1047483647

int m,n,d[208],start,tar;
struct project{
   int x,y,w;
}map[2008];

void Bellman_Ford()
{
   int i,j;
   for(i=0;i<n;i++)//Init
       d[i]=MAX;
   d[start]=0;
   for(i=0;i<n;i++)
       for(j=0;j<2*m;j++)
       {
           if(d[map[j].x]>d[map[j].y]+map[j].w)//relax x --w--> y
               d[map[j].x]=d[map[j].y]+map[j].w;
       }
   if(d[tar]<MAX)
       printf("%d\n",d[tar]);
   else printf("-1\n");
}

int main()
{
   int i;
   while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
   {
       for(i=0;i<m;i++)
       {
           scanf("%d%d%d",&map[i].x,&map[i].y,&map[i].w);//two way road --->   one way road
           map[i+m].y=map[i].x;
           map[i+m].x=map[i].y;
           map[i+m].w=map[i].w;
       }
       scanf("%d%d",&start,&tar);
       Bellman_Ford();
   }
   return 0;
}

第四种解法：SPFA算法

这种算法可以说是Bellman_Ford算法的优化，就是在Bellman_Ford算法的基础上加上队列实现，

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)
算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。 直到队列为空时算法结束。


这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法


SPFA——Shortest Path Faster Algorithm，它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单：


设Dist代表S到I点的当前最短距离，Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞，只有Dist[S]=0，Fa全部为0。


维护一个队列，里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。


每次迭代，取出队头的点v，依次枚举从v出发的边v->u，设边的长度为len，判断Dist[v]+len是否小于Dist[u]，若小于则改进Dist[u]，将Fa[u]记为v，并且由于S到u的最短距离变小了，有可能u可以改进其它的点，所以若u不在队列中，就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空，也就是S到所有的最短距离都确定下来，结束算法。若一个点入队次数超过n，则有负权环。


SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k，有办法证明对于通常的情况，k在2左右。


SPFA算法（Shortest Path Faster Algorithm），也是求解单源最短路径问题的一种算法，用来解决：给定一个加权有向图G和源点s，对于图G中的任意一点v，求从s到v的最短路径。 SPFA算法是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算，他的基本算法和Bellman-Ford一样，并且用如下的方法改进： 1、第二步，不是枚举所有节点，而是通过队列来进行优化 设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。 2、同时除了通过判断队列是否为空来结束循环，还可以通过下面的方法： 判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过V次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）。


SPFA算法有两个优化算法 SLF 和 LLL 


SLF：Small Label First 策略，设要加入的节点是j，队首元素为i，若dist(j)<dist(i)，则将j插入队首，否则插入队尾。 LLL：Large Label Last 策略，设队首元素为i，队列中所有dist值的平均值为x，若dist(i)>x则将i插入到队尾，查找下一元素，直到找到某一i使得dist(i)<=x，则将i出对进行松弛操作。 SLF 可使速度提高 15 ~ 20%；SLF + LLL 可提高约 50%。 在实际的应用中SPFA的算法时间效率不是很稳定，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法。

#include<stdio.h>//SPFA 模拟队列实现最短路径
#include<string.h>
#define INF 100000

int map[210][210],flag[210],Q[210],d[210];
int m,n,start,tar;

void SPFA()
{
   int i,x;
   int front=0,rear=0;
   memset(Q,0,sizeof(Q));
   memset(flag,0,sizeof(flag));
   for(i=0;i<n;i++)
       d[i]=INF;
   d[start]=0;
   Q[rear]=start;
   rear++;
   flag[start]=1;
   while(front<rear)
   {
       x=Q[front];//出队列
       front=(front+1)%210;
       flag[x]=0;
       for(i=0;i<n;i++)
       {
           if(d[i]>d[x]+map[x][i])
           {
               d[i]=d[x]+map[x][i];
               if(!flag[i])
               {
                   Q[rear]=i;//入队列
                   rear=(rear+1)%210;
                   flag[i]=1;
               }
           }
       }
   }
   if(d[tar]<INF)
       printf("%d\n",d[tar]);
   else printf("-1\n");
}

int main()
{
   int i,j,a,b,c;
   while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
   {
       for(i=0;i<n;i++)
           for(j=0;j<n;j++)
               map[i][j]=INF;
       for(i=0;i<m;i++)
       {
           scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
           if(map[a][b]>c)
           map[a][b]=map[b][a]=c;
       }
       scanf("%d%d",&start,&tar);
       SPFA();
   }
   return 0;
}

其实最短路总结就一句话，不断的进行松弛操作，无论是什么解法，都要进行松弛操作，然后找到最短路径