莫比乌斯反演略解

莫比乌斯反演，又称懵逼钨丝繁衍

一、莫比乌斯函数

学莫比乌斯反演之前要学一下莫比乌斯函数

设正整数N珂以分解质因数成(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}…p_m^{c_m})

定义莫比乌斯函数，记做(mu(N))

[ mu(x) = left{ egin{aligned} 0 qquad qquad qquad qquad exists i in [1,m] , c_i>1\ 1 qquad m equiv 0 (mod 2) , forall i in [1,m] , c_i=1 \ -1 qquad m equiv 1 (mod 2) , forall i in [1,m] , c_i=1 end{aligned} ight. ]

通俗的讲，当N包含相等的质因子时，(mu (N)=0)。当N的所有质因子各不相等时，若N有偶数个质因子，(mu (N)=1)，若N有奇数个质因子(mu (N)=-1)

下面我们来讲讲如何求莫比乌斯函数

当只需要求一项莫比乌斯函数时，则珂以用分解质因数（试除法或pollard's Rho）

若求1~N的每一项的莫比乌斯函数，我们珂以用筛法来计算（还在上面那篇文章中）。先把所有的(mu)值初始化为1.接下来，对于筛出的每一个质数p，令(mu (p) = -1)，并扫描p的倍数(x=2p,3p,…,lfloor n/p floor *p)，检查x能否被(p^2)整除。若能，则令(mu (x) = 0)，否则令(mu (x) = -mu (x))

for(register int i=1;i<=n;++i)
	miu[i]=1,v[i]=0;
for(register int i=2;i<=n;++i)
{
	if(v[i])
		continue;
	miu[i]=-1;
	for(register int j=i<<1;j<=n;j+=i)
	{
		v[j]=1;
		if((j/i)%i==0)
			miu[j]=0;
		else
			miu[j]*=-1;
	}
}

2、莫比乌斯反演公式

莫比乌斯反演分为两种形式

形式1：

若函数F(x)和f(x)满足

$$F(n)=sum_{d|n}f(d)$$

那么就有

$$f(n)=sum_{d|n}mu(d)F(frac{n}{d})$$

形式2：

若函数F(x)和f(x)满足

$$F(n)=sum_{n|d}f(d)$$

那么就有

$$f(n)=sum_{n|d}mu(frac{d}{n})F(d)$$

两条性质

我们需要运用这两条性质来证明莫比乌斯反演

性质1：

对于任何正整数n有

$$ sum_{d|n}mu(d) = left{

egin{aligned}
1 qquad (n=1)
0 qquad (n>1)
end{aligned}
ight.

[ #### 证明： ##### 1.当n=1时显然成立 ##### 2、在n>1时，珂以讲n分解成$n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}…p_m^{c_m}$ ##### 在n的所有因子中，$mu$的值不为零的只有所有质因子次数为都1的因子，其中质因数个数为r个的因子有$C_m^r$个 ##### 那么显然有： ##### $$sum_{d|n}mu(d)=C_m^0-C_m^1+C_m^2+…+(-1)^mC_m^m=sum_{i=0}^m(-1)^iC_m^i]

所以我们要证明(sum_{i=0}^m(-1)^iC_m^i)

根据二项式定理：

$$(x+y)^n=sum_{i=0}^nC_n^ix^iy^{n-i}$$

将x=1，y=-1带入即珂以得证

性质2：

$$sum_{d|n}frac{mu(d)}{d}=frac{varphi(n)}{n}$$

证明珂以直接带入反演公式

莫比乌斯反演证明

懒着写了

莫比乌斯反演的应用

讲了那么多，最后也只是记住形式

所以我们结合Luogu P3455 [POI2007]ZAP-Queries来讲一下莫比乌斯反演的应用

题目大意：求对于区间([1,a])内的整数x和([1,b])内的y，满足(gcd(x,y)=d)的数对的个数

设F(t)表示满足gcd(x,y)%t=0的数对个数，f(t)表示满足(gcd(x,y)=t)的数对个数，实际上答案就是f(d)

这就满足莫比乌斯反演的关系式了

显然我们珂以得知(F(t)=(b/t)*(d/t))

我们根据反演的第二个公式便珂以得出

$$f(d)=sum_{n|d}mu(frac{d}{n})F(d)$$

还有一个叫整除分块的小技巧

大体长这样

for(register int l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
    r=n/(n/l);
    ans+=(r-l+1)*(n/l);
}

就这样就过了qaq

#include <bits/stdc++.h>
#define N 50005
#define ll long long 
#define getchar nc
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf; 
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++; 
}
inline int read()
{
    register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(register ll x)
{
    if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
    static int sta[30];register int tot=0;
    while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
    while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
inline int Min(register int x,register int y)
{
	return x<y?x:y;
}
int v[N],miu[N],sum[N];
int main()
{
	for(register int i=1;i<=N;++i)
		miu[i]=1,v[i]=0;
	for(register int i=2;i<=N;++i)
	{
		if(v[i])
			continue;
		miu[i]=-1;
		for(register int j=i<<1;j<=N;j+=i)
		{
			v[j]=1;
			if((j/i)%i==0)
				miu[j]=0;
			else
				miu[j]*=-1;
		}
	}
	for(register int i=1;i<=N;++i)
		sum[i]=sum[i-1]+miu[i];
	int t=read();
	while(t--)
	{
		int a=read(),b=read(),d=read();
		int maxround=Min(a/d,b/d);
		ll ans=0;
		for(register int l=1,r;l<=maxround;l=r+1)
		{
			r=Min((a/d)/((a/d)/l),(b/d)/((b/d)/l));
			ans+=(ll)((a/d)/l)*((b/d)/l)*(sum[r]-sum[l-1]);	
		}	
		write(ans),puts("");
	}
	return 0;
}