bzoj4313 三维积木

传送门

分析

我们假设主视图的颜色为1

如果只有两种颜色，且能求出w[x][y]表示一列中放置x个1和y个2的方案数

则我们可用dp[i][j][k]表示考虑到第i列放j个1和k个2的方案数，这样的复杂度为$O(n^5)$

我们可以把颜色2和颜色3统一看成颜色2，最后方案数乘上$C_{b+c}^b$即可

于是我们考虑如何求出w[x][y]

我们可以再将这两种颜色看为一种，设ddp[i][j]表示在这一列放i个积木，最高高度恰好为j的方案数

不难得出

     w[x][y] = $sum_{i=1}^x$ddp[x+y][i] * $C_{x+y-i}^{x-i}$

至于如何求ddp[i][j]我们可以再数组最后再加以为[0/1]表示是否出现过高度为j的情况

用前缀和优化一下即可使求这个的过程变为$O(n^2)$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<ctime>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
int w[110][110],ddp[110][110][2],dp[110][110][110],C[110][110];
int pre[110][110][2];
inline void getc(){
    int i,j,k;
    for(i=0;i<=100;i++)C[i][0]=C[i][i]=1;
    for(i=1;i<=100;i++)
      for(j=1;j<i;j++)
        C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
}
int main(){
    int n,m,a,b,c,i,j,k,p,q,Ans=0;
    cin>>a>>b>>c>>n;
    m=max(a,max(b,c));
    getc();
    for(i=1;i<=m;i++)
      for(j=0;j<=2*m;j++)
        for(k=1;k<=i;k++){
          memset(ddp,0,sizeof(ddp));
          memset(pre,0,sizeof(pre));
          for(p=0;p<k;p++){
             ddp[1][p][0]=1;
             pre[1][p][0]=p+1;
          }
          for(p=k;p<=i+j;p++)pre[1][p][0]=pre[1][p-1][0];
          pre[1][k][1]=ddp[1][k][1]=1;
          for(p=k+1;p<=i+j;p++)pre[1][p][1]=pre[1][p-1][1];
          for(p=2;p<=n;p++)
            for(q=0;q<=i+j;q++){
              ddp[p][q][1]=(pre[p-1][q][1]-(q-k-1>=0?pre[p-1][q-k-1][1]:0)
                 +(q-k>=0?ddp[p-1][q-k][0]:0))%mod;
              if(ddp[p][q][1]<0)ddp[p][q][1]+=mod;
              ddp[p][q][0]=(pre[p-1][q][0]-(q-k>=0?pre[p-1][q-k][0]:0))%mod;
              if(ddp[p][q][0]<0)ddp[p][q][0]+=mod;
              pre[p][q][1]=((q>0?pre[p][q-1][1]:0)+ddp[p][q][1])%mod;
              pre[p][q][0]=((q>0?pre[p][q-1][0]:0)+ddp[p][q][0])%mod;
            } 
          w[i][j]=(w[i][j]+
            (long long)ddp[n][i+j][1]*C[i+j-k][i-k]%mod)%mod;
        }
    w[0][0]=1;
    dp[0][0][0]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)
      for(j=0;j<=m;j++)
        for(k=0;k<=2*m;k++)
          for(p=0;p+j<=m;p++)
            for(q=0;q+k<=2*m;q++)
              dp[i][j+p][k+q]=(dp[i][j+p][k+q]+
                (long long)dp[i-1][j][k]*w[p][q]%mod)%mod;
    Ans=((long long)dp[n][a][b+c]*C[b+c][b]%mod
       +(long long)dp[n][b][a+c]*C[a+c][a]%mod
       +(long long)dp[n][c][b+a]*C[b+a][b]%mod)%mod;
    printf("%d
",Ans);
    return 0;
}